人教版新课标B必修4第二章 平面向量综合与测试当堂检测题

这是一份人教版新课标B必修4第二章 平面向量综合与测试当堂检测题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)
1．(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)向量a＝(1，－2)，b＝(2,1)，则( )
A．a∥b B．a⊥b
C．a与b的夹角为60° D．a与b的夹角为30°
[答案] B
[解析] ∵a·b＝1×2＋(－2)×1＝0，∴a⊥b.
2．有下列四个命题：
①存在x∈R，sin2eq \f(x,2)＋cs2eq \f(x,2)＝eq \f(1,2)；
②存在x、y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；
③x∈[0，π]，eq \r(\f(1－cs2x,2))＝sinx；
④若sinx＝csy，则x＋y＝eq \f(π,2).
其中不正确的是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
[答案] A
[解析] ∵对任意x∈R，均有sin2eq \f(x,2)＋cs2eq \f(x,2)＝1，
故①不正确，排除B、D；又x∈[0，π]，eq \r(\f(1－cs2x,2))＝eq \r(sin2x)＝sinx，故③正确，排除C，故选A．
3．若向量a＝(2csα，－1)、b＝(eq \r(2)，tanα)，且a∥b，则sinα＝( )
A．eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(\r(2),2)
C．±eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(1,2)
[答案] B
[解析] ∵a∥b，∴2csα·tanα＝－eq \r(2)，即sinα＝－eq \f(\r(2),2).
4.eq \f(tan105°－1,tan105°＋1)的值为( )
A．eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3)
C．eq \r(3) D．－eq \r(3)
[答案] C
[解析] eq \f(tan105°－1,tan105°＋1)＝eq \f(tan105°－tan45°,1＋tan105°tan45°)＝tan(105°－45°)＝tan60°＝eq \r(3).
5．函数y＝(sinx＋csx)2＋1的最小正周期是( )
A．eq \f(π,2) B．π
C．eq \f(3π,2) D．2π
[答案] B
[解析] y＝(sinx＋csx)2＋1
＝1＋2sinxcsx＋1＝2＋sin2x.
∴最小正周期T＝π.
6．设5π<θ<6π，cseq \f(θ,2)＝a，则sineq \f(θ,4)的值等于( )
A．－eq \f(\r(1＋a),2) B．－eq \f(\r(1－a),2)
C．－eq \r(\f(1＋a,2)) D．－eq \r(\f(1－a,2))
[答案] D
[解析] ∵5π<θ<6π，∴eq \f(5π,4)∴sineq \f(θ,4)<0，∴sineq \f(θ,4)＝－eq \r(\f(1－cs\f(θ,2),2))＝－eq \r(\f(1－a,2)).
7．设x、y∈R，向量a＝(x,1)、b＝(1，y)、c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A．eq \r(5) B．eq \r(10)
C．2eq \r(5) D．10
[答案] B
[解析] ∵a⊥c，∴a·c＝2x－4＝0，∴x＝2.
又∵b∥c，∴－4＝2y，∴y＝－2.
∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，
∴|a＋b|＝eq \r(32＋－12)＝eq \r(10).
8．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[答案] B
[解析] 原式＝tan(27°－α)·tan(90°－(27°－α))·tan(49°－β)·tan[90°＋(49°－β)]
＝tan(27°－α)·ct(27°－α)·tan(49°－β)·[－ct(49°－β)]＝－1.
9．cs275°＋cs215°＋cs75°cs15°的值为( )
A．eq \f(\r(6),2) B．eq \f(3,2)
C．eq \f(5,4) D．1＋eq \f(\r(3),4)
[答案] C
[解析] 原式＝sin215°＋cs215°＋sin15°cs15°
＝1＋eq \f(1,2)sin30°＝eq \f(5,4).
10．设△ABC的三个内角为A、B、C，向量m＝(eq \r(3)sinA，sinB)、n＝(csB，eq \r(3)csA)，若m·n＝1＋cs(A＋B)，则C＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
[答案] C
[解析] ∵m·n＝eq \r(3)sinAcsB＋eq \r(3)csAsinB
＝eq \r(3)sin(A＋B)＝1＋cs(A＋B)，
∴eq \r(3)sin(A＋B)－cs(A＋B)＝1，
∴eq \r(3)sinC＋csC＝1，即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))＝1，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，∴C＋eq \f(π,6)＝eq \f(5π,6)，∴C＝eq \f(2π,3).
11．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B＋sin2C＝2，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] C
[解析] 由已知，得eq \f(1－cs2A,2)＋eq \f(1－cs2B,2)＋sin2C＝2，
∴1－eq \f(1,2)(cs2A＋cs2B)＋sin2C＝2，
∴cs2A＋cs2B＋2cs2C＝0，
∴cs(A＋B)·cs(A－B)＋cs2C＝0，
∴csC[－cs(A－B)－cs(A＋B)]＝0，
∴csA·csB·csC＝0，
∴csA＝0或csB＝0或csC＝0.
∴△ABC为直角三角形．
12．若f(sinx)＝3－cs2x，则f(csx)＝( )
A．3－cs2x B．3－sin2x
C．3＋cs2x D．3＋sin2x
[答案] C
[解析] f(sinx)＝3－cs2x
＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，
∴f(x)＝2＋2x2
∴f(csx)＝2＋2cs2x
＝2＋1＋cs2x＝3＋cs2x.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13.eq \f(2tan150°,1－tan2150°)的值为________．
[答案] －eq \r(3)
[解析] 原式＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))2)＝－eq \f(2\r(3),3)·eq \f(3,2)＝－eq \r(3).
14．已知向量a、b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq \r(10)，则|b|＝________.
[答案] 3eq \r(2)
[解析] ∵|a|＝1，〈a，b〉＝45°，|2a－b|＝eq \r(10)，
∴4|a|2－4a·b＋|b|2＝10，∴4－4×1×|b|cs45°＋|b|2＝10，∴|b|2－2eq \r(2)|b|－6＝0，∴|b|＝3eq \r(2).
15．若eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝2 015，则eq \f(1,cs2α)＋tan2α＝________.
[答案] 2 015
[解析] eq \f(1,cs2α)＋tan2α＝eq \f(1,cs2α)＋eq \f(sin2α,cs2α)＝eq \f(1＋sin2α,cs2α)＝eq \f(csα＋sinα2,cs2α－sin2α)＝eq \f(csα＋sinα,csα－sinα)＝eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝2 015.
16．在△ABC中，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋A))＝eq \f(5,13)，则cs2A的值为________．
[答案] eq \f(120,169)
[解析] 在△ABC中，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋A))＝eq \f(5,13)>0，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋A))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋A)))＝eq \f(12,13).
∴cs2A＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2A))＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋A))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋A))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋A))
＝2×eq \f(12,13)×eq \f(5,13)＝eq \f(120,169).
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)求值(tan5°－ct5°)·eq \f(cs70°,1＋sin70°).
[解析] 解法一：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan5°－\f(1,tan5°)))·eq \f(cs70°,1＋sin70°)
＝eq \f(tan25°－1,tan5°)·eq \f(sin20°,1＋cs20°)
＝－2·eq \f(1－tan25°,2tan5°)·eq \f(sin20°,1＋cs20°)
＝－2ct10°·tan10°＝－2.
解法二：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin5°,cs5°)－\f(cs5°,sin5°)))·eq \f(sin20°,1＋cs20°)
＝eq \f(sin25°－cs25°,sin5°·cs5°)·eq \f(sin20°,1＋cs20°)
＝－eq \f(cs10°,\f(1,2)sin10°)·eq \f(2sin10°·cs10°,2cs210°)＝－2.
解法三：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs10°,sin10°)－\f(1,\f(sin10°,1＋cs10°))))·eq \f(sin20°,1＋cs20°)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs10°,sin10°)－\f(1＋cs10°,sin10°)))·eq \f(sin20°,1＋cs20°)
＝eq \f(－2cs10°,sin10°)·eq \f(2sin10°·cs10°,2cs210°)＝－2.
18．(本小题满分12分)(2015·山东烟台高一检测)已知向量a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(2,1)．
(1)若b＝(1，m)，且a＋b与a－b垂直，求实数m的值；
(2)若c为单位向量，且c∥a，求向量c的坐标．
[解析] (1)a＋b＝(3，m＋1)，a－b＝(1,1－m)，
∵a＋b与a－b垂直，∴3×1＋(m＋1)(1－m)＝0，解得m＝±2.
(2)设c＝(x，y)，依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x2＋y2)＝1,x－2y＝0))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2\r(5),5),y＝\f(\r(5),5)))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2\r(5),5),y＝－\f(\r(5),5))).
∴c＝(eq \f(2\r(5),5)，eq \f(\r(5),5))或c＝(－eq \f(2\r(5),5)，－eq \f(\r(5),5))．
19．(本小题满分12分)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(1,9)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，且eq \f(π,2)<α<π，0<β[解析] ∵eq \f(π,2)<α<π，0<β∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(1,9)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(4\r(5),9).
又∵eq \f(π,4)∴－eq \f(π,4)∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(\r(5),3).
故sineq \f(α＋β,2)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))
＝eq \f(4\r(5),9)×eq \f(\r(5),3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,9)))×eq \f(2,3)＝eq \f(22,27)，
cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,9)))×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(4\r(5),9)×eq \f(2,3)＝eq \f(7\r(5),27)，
∴taneq \f(α＋β,2)＝eq \f(sin\f(α＋β,2),cs\f(α＋β,2))
＝eq \f(\f(22,27),\f(7\r(5),27))＝eq \f(22\r(5),35).
20．(本小题满分12分)(2015·商洛市高一期末测试)已知向量a＝(sinx，eq \f(3,2))、b＝(csx，－1)．
(1)求|a＋b|的最大值；
(2)当a与b共线时，求2cs2x－sin2x的值．
[解析] (1)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝sin2x＋eq \f(9,4)＋2sinxcsx－3＋cs2x＋1
＝sin2x＋eq \f(5,4)，
∴当2x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即x＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z时，
sin2x取最大值1，
∴|a＋b|eq \\al(2,max)＝1＋eq \f(5,4)＝eq \f(9,4)，
∴|a＋b|max＝eq \f(3,2).
(2)当a与b共线时，
－sinx＝eq \f(3,2)csx，∴tanx＝－eq \f(3,2).
∴2cs2x－sin2x＝2cs2x－2sinxcsx
＝eq \f(2cs2x－2sinxcsx,sin2x＋cs2x)
＝eq \f(2－2tanx,tan2x＋1)
＝eq \f(2－2×－\f(3,2),\f(9,4)＋1)＝eq \f(20,13).
21．(本小题满分12分)(2015·安徽文，16)已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)2＋cs 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝(sin x＋cs x)2＋cs 2x
＝1＋sin 2x＋cs 2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1，
∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,|2|)＝π.
(2)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))，
∴f(x)max＝1＋eq \r(2)，f(x)min＝0.
22. (本小题满分14分)(2015·山东威海一中高一期末测试)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋k，(ω>0，－eq \f(π,2)<φ(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)将f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位后得到函数g(x)，设A、B、C为三角形的三个内角，若g(B)＝0，且m＝(csA，csB)，n＝(1，sinA－csAtanB)，求m·n的取值范围．
[解析] (1)∵T＝eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.
∵f(x)min＝－1＋k＝－2，∴k＝－1.
∴f(－eq \f(π,6))＝sin(－eq \f(π,3)＋φ)－1＝－2，∴φ＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z.
∵－eq \f(π,2)<φ∴f(x)＝sin(2x－eq \f(π,6))－1.
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得－eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为[－eq \f(π,6)＋kπ，eq \f(π,3)＋kπ]，k∈Z.
(2)g(x)＝sin[2(x＋eq \f(π,6))－eq \f(π,6)]－1＝sin(2x＋eq \f(π,6))－1，
∴g(B)＝sin(2B＋eq \f(π,6))－1＝0，
∴sin(2B＋eq \f(π,6))＝1.
∴0∴m·n＝csA＋csB(sinA－csAtanB)
＝csA＋csBsinA－csAsinB
＝csA＋eq \f(\r(3),2)sinA－eq \f(1,2)csA
＝eq \f(\r(3),2)sinA＋eq \f(1,2)csA
＝sin(A＋eq \f(π,6))．
∵B＝eq \f(π,6)，∴0∴eq \f(π,6)∴0∴m·n的取值范围是(0,1]．