高中数学人教版新课标B必修43.1.3两角和与差的正切随堂练习题

这是一份高中数学人教版新课标B必修43.1.3两角和与差的正切随堂练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若tan(eq \f(π,4)－α)＝3，则ctα等于( )
A．－2 B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2) D．2
[答案] A
[解析] ∵tan(eq \f(π,4)－α)＝eq \f(1－tanα,1＋tanα)＝3，
∴tanα＝－eq \f(1,2)，∴ctα＝－2.
2．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] A
[解析] 由已知，得tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(3,1－2)＝－3.
3．若tan28°tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝( )
A．eq \r(3)m B．eq \r(3)(1－m)
C．eq \r(3)(m－1) D．eq \r(3)(m＋1)
[答案] B
[解析] tan28°＋tan32°＝tan(28°＋32°)(1－tan28°tan32°)
＝tan60°(1－tan28°tan32°)
＝eq \r(3)(1－m)．
4．tan20°＋tan40°＋eq \r(3)tan20°·tan40°的值为( )
A．－eq \r(3) B．eq \r(3)
C．3 D．eq \f(\r(3),3)
[答案] B
[解析] 原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋eq \r(3)tan20°·tan40°＝tan60°＝eq \r(3).
5．已知tanα＝eq \f(1,3)，tanβ＝－2，则ct(α－β)的值为( )
A．eq \f(1,7) B．－eq \f(1,7)
C．1 D．－1
[答案] A
[解析] ct(α－β)＝eq \f(1,tanα－β)＝eq \f(1＋tanαtanβ,tanα－tanβ)＝eq \f(1,7).
故选A．
6．已知α＋β＝eq \f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)的值等于( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
[答案] A
[解析] ∵tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝－1，
∴tanα＋tanβ＝tanα·tanβ－1，
∴原式＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2.
二、填空题
7．若sinα＝eq \f(4,5)，tan(α＋β)＝1，α为第二象限角，则tanβ＝________.
[答案] －7
[解析] ∵sinα＝eq \f(4,5)，α为第二象限角，
∴csα＝－eq \f(3,5)，tanα＝－eq \f(4,3)，
tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)
＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))),1＋1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))))＝－7.
8．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则taneq \f(α＋β,2)＝________.
[答案] eq \f(1,7)
[解析] taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))
＝eq \f(\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝eq \f(1,7).
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)eq \f(tan70°－tan10°＋tan120°,tan70°tan10°)；
(2)tan50°－tan20°－eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°.
[解析] (1)原式
＝eq \f(tan70°－10°1＋tan70°tan10°－\r(3),tan70°tan10°)
＝eq \f(\r(3)＋\r(3)tan70°tan10°－\r(3),tan70°tan10°)＝eq \r(3).
(2)tan50°－tan20°－eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°
＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°
＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°
＝eq \f(\r(3),3)＋eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°－eq \f(\r(3),3)tan50°tan20°＝eq \f(\r(3),3).
10．(2015·广东文，16改编)已知tan α＝2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；
(2)求eq \f(sin 2α,sin2 α＋sin αcs α－2cs 2α)的值．
[解析] (1) taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝eq \f(2＋1,1－2)＝－3，
(2) eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－2cs 2α)
＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋sin αcs α－2cs2α)
＝eq \f(2tan α,tan2α＋tan α－2)
＝eq \f(2×2,22＋2－2)
＝1.
一、选择题
1．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．eq \f(1,7) B．7
C．－eq \f(1,7) D．－7
[答案] A
[解析] 由于α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(3,5)，
∴csα＝－eq \f(4,5)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－eq \f(3,4).
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝eq \f(1－\f(3,4),1＋\f(3,4))＝eq \f(1,7)，故选A．
2.eq \f(ct70°tan－50°－1,tan20°－tan50°)的值是( )
A．eq \r(3) B．eq \f(\r(3),3)
C．－eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3)
[答案] A
[解析] 原式＝eq \f(－tan20°·tan50°－1,tan20°－tan50°)
＝－eq \f(1,\f(tan20°－tan50°,1＋tan20°·tan50°))＝－eq \f(1,tan20°－50°)
＝－eq \f(1,－tan30°)＝eq \r(3).
3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
[答案] C
[解析] (1＋tan21°)(1＋tan24°)
＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°
＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24°
＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2，
同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，
故原式＝4.
4．已知tanα、tanβ是方程x2－eq \r(3)x＋4＝0的两个根，且－eq \f(π,2)<αA．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6)
C．eq \f(π,6)或－eq \f(5π,6) D．－eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
[答案] B
[解析] 由韦达定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tanα＋tanβ＝\r(3),tanα·tanβ＝4))，
∴tanα>0，tanβ>0，
∵α∈(0，eq \f(π,2))，β∈(0，eq \f(π,2))，
∴α＋β∈(0，π)．
又tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\r(3),1－4)＝－eq \f(\r(3),3)，
∴α＋β＝eq \f(5π,6).
二、填空题
5．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．
[答案] eq \f(1,7)
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝eq \f(tanβ－α－tanα,1＋tanβ－α·tanα)＝eq \f(3－2,1＋3×2)＝eq \f(1,7).
6．已知点P(sineq \f(3π,4)，cseq \f(3π,4))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan(θ＋eq \f(π,3))的值为________．
[答案] 2－eq \r(3)
[解析] ∵sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2)，cseq \f(3π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，
∴点P的坐标为P(eq \f(\r(2),2)，－eq \f(\r(2),2))．
∴tanθ＝eq \f(y,x)＝－1.
∴tan(θ＋eq \f(π,3))＝eq \f(tanθ＋tan\f(π,3),1－tanθtan\f(π,3))
＝eq \f(tanθ＋\r(3),1－\r(3)tanθ)＝eq \f(－1＋\r(3),1＋\r(3))＝2－eq \r(3).
三、解答题
7．求证：tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β.
[解析] ∵tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝eq \f(tanα＋β－tanα－β,1＋tanα＋β·tanα－β)，
∴tan2β[1＋tan(α＋β)·tan(α－β)]
＝tan(α＋β)－tan(α－β)，
∴tan2β＋tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β
＝tan(α＋β)－tan(α－β)，
∴tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β
＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β.
8．已知tanA与tan(－A＋eq \f(π,4))是方程x2＋px＋q＝0的根，且3tanA＝2tan(eq \f(π,4)－A)，求p与q的值．
[解析] 设t＝tanA，则tan(eq \f(π,4)－A)＝eq \f(1－tanA,1＋tanA)＝eq \f(1－t,1＋t)，
∴3tanA＝2tan(eq \f(π,4)－A)，
∴3t＝eq \f(21－t,1＋t)，解得t＝eq \f(1,3)或t＝－2.
当t＝eq \f(1,3)时，有tan(eq \f(π,4)－A)＝eq \f(1－t,1＋t)＝eq \f(1－\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq \f(1,2)，
∴p＝－[tanA＋tan(eq \f(π,4)－A)]＝－(eq \f(1,3)＋eq \f(1,2))＝－eq \f(5,6)，
q＝tanAtan(eq \f(π,4)－A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6).
当t＝－2时，有tan(eq \f(π,4)－A)＝eq \f(1－t,1＋t)＝－3，
∴p＝－[tanA＋tan(eq \f(π,4)－A)]
＝－[(－2)＋(－3)]＝5，
q＝tanAtan(eq \f(π,4)－A)＝(－2)×(－3)＝6.
综上可知，p＝－eq \f(5,6)，q＝eq \f(1,6)或p＝5，q＝6.
9. 在锐角△ABC中，
(1)求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；
(2)化简：taneq \f(A,2)taneq \f(B,2)＋taneq \f(B,2)taneq \f(C,2)＋taneq \f(C,2)taneq \f(A,2).
[解析] (1)∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC．
∴tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC(1－tanAtanB)＋tanC
＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC
＝tanAtanBtanC．
(2)∵A＋B＋C＝π，∴eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(A,2)，
∵taneq \f(B＋C,2)＝tan(eq \f(π,2)－eq \f(A,2))＝cteq \f(A,2).
∴原式＝taneq \f(A,2)(taneq \f(B,2)＋taneq \f(C,2))＋taneq \f(B,2)·taneq \f(C,2)
＝taneq \f(A,2)taneq \f(B＋C,2)(1－taneq \f(B,2)taneq \f(C,2))＋taneq \f(B,2)·taneq \f(C,2)
＝taneq \f(A,2)tan(eq \f(π,2)－eq \f(A,2))(1－taneq \f(B,2)taneq \f(C,2))＋taneq \f(B,2)taneq \f(C,2)＝taneq \f(A,2)cteq \f(A,2)(1－taneq \f(B,2)taneq \f(C,2))＋taneq \f(B,2)taneq \f(C,2)
＝1－taneq \f(B,2)taneq \f(C,2)＋taneq \f(B,2)taneq \f(C,2)＝1.