数学必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.6 祖暅原理与几何体的体积教案配套课件ppt

这是一份数学必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.6 祖暅原理与几何体的体积教案配套课件ppt，共41页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，答案D，答案28，微练习1，答案B，答案36π，探究一，探究二，探究三等内容，欢迎下载使用。

祖暅是我国南北朝时期的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅不仅首次明确提出了这一原理,还成功地将其应用到球体积的推算上.我们把这条原理称为祖暅原理.这一原理在西方文献中称为“卡瓦列里原理”,由意大利数学家卡瓦列里(1598—1647年)独立提出,对微积分的建立有重要影响.
知识点一:祖暅原理1.祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等”.2.作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.3.说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.
微思考运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别是什么?提示:需要三个条件,分别是:①这两个几何体夹在两个平行平面之间.②平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面.③两个截面的面积总相等.
微判断(1)等底等高的两个柱体的体积相同.(　　)(2)等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的9倍.(　　)(3)在三棱柱A1B1C1-ABC中,有 (　　)答案:(1)√　(2)×　(3)×
知识点二:柱、锥、台的体积柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中,棱柱、棱锥的底面积为S,圆柱、圆锥的底面圆半径为r,高为h,台体的上、下底面面积分别为S1,S2,高为h,上、下底面圆的半径分别为r'和r.
名师点析 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
微思考求三棱锥的体积时有什么技巧?提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.
微判断(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.(　　)(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.(　　)(3)圆台的高就是相应母线的长.(　　)答案:(1)√　(2)×　(3)×
微练习1圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为(　　)A.36πB.18πC.45πD.12π
微练习2已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为　　　　　. 
知识点三:球的体积一般地,如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球= πR3.名师点析 求解与球有关切接问题时要认真分析题中已知条件,明确切点与接点位置,正确作出截面图,再分析相关量间的数量关系.
微判断(1)决定球的大小的因素是球的半径.(　　)(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.(　　)(3)球的体积V与球的表面积S的数值关系为V= S.(　　)(4)两个球的体积之比等于其半径比的立方.(　　)答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
微练习2已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球的体积为　　　　　. 
柱体的体积例1用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大?
解:①若以矩形的长为圆柱的母线l,则l=4 m,此时圆柱底面周长为2 m,
变式训练 1如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥AC,AB=4 cm,AC=3 cm,AA1=5 cm,BD=2 cm,则剩余部分的体积为　　　　　cm3. 
(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥,求剩余部分的体积.
(1)答案:A解析:作圆锥的轴截面(如图所示).由题设,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB.
变式训练 2(1)将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为(　　)
答案:(1)B　(2)B
台体的体积例3已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.
解:如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,O'、O分别为上、下底面的中心,D,D'分别是BC,B'C'的中点,
变式训练 3已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.
解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R,l,高为h.作A1D⊥AB于点D,则A1D=3.
球的体积例4已知正四面体ABCD的外接球的体积为4 π,求正四面体的体积.
解:将正四面体ABCD置于正方体中.正四面体的外接球即为正方体的外接球(如图所示),正方体的体对角线长即为球的直径.设外接球的半径为R,
变式训练 4如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的(　　)A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍
逻辑推理、数学运算在求体积中的体现典例如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为(　　)
方法点睛逻辑推理、数学运算是解决数学问题的基本素养,它将新的问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解.
1.(2020四川广元川师大万达中学高二期中)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为(　　)
2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是(　　)
3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是　　　　　. 
4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8,体积为14 cm3,则该棱台的高为　　　　　. 
解析:如图所示,设正四棱台AC'的上底面边长为2a cm,则斜高EE',下底面边长分别为5a cm,8a cm.
5.如图所示,四棱锥的底面ABCD是一个矩形,AC与BD交于点M,VM是四棱锥的高.若VM=4 cm,AB=4 cm,VC=5 cm,求四棱锥的体积.