高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积完美版作业课件ppt

课时分层作业(十三)　祖暅原理与几何体的体积

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1.已知高为3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　)

A．　　　　　 B．

C. D．

D　[V＝Sh＝××3＝.]

2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是(　　)

A．   B.

C. D．

D　[如图，去掉的一个棱锥的体积是××＝，

剩余几何体的体积是1－8×＝.]

3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的(　　)

A．1倍　　　　 B．2倍

C．3倍 D．4倍

C　[半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3，

∴π×(3x)3÷＝3.]

4．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　)

A．   B.

C. D．

C　[VC­AA′B′B＝VABC­A′B′C′－VC­A′B′C′

＝S△ABC·AA′－S△ABC·AA′

＝S△ABC·AA′

＝.]

5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是(　　)

A．1∶∶　　　 B．6∶2∶

C．6∶2∶3 D．3∶2∶6

C　[设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π×2＝π.V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.]

二、填空题

6．一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为________．

　[设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝.]

7．已知三棱锥S­ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．

　[如图，在三棱锥S­ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝×4×＝.在Rt△SAO中，SO＝＝，所以V＝×××42＝.]

8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．

　[设大、小两球半径分别为R、r，则

所以

所以体积和为πR3＋πr3＝.]

三、解答题

9．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．

 [解]　因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，

V圆锥＝πr2h＝π×42×10

＝π(cm3)，

因为V半球<V圆锥，

所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．

10.如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．

[解]　设圆台上、下底面半径分别为r，R.

∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝＝，

∴R－r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3，

∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3，

∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π.

[等级过关练]

1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)

A． B．　　　

C.　　　 D.

A　[由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.]

2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是(　　)

A．54 B．54π 

C．58 D．58π

A　[设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，

∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，

∴h＝h1，

∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.]

3．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A­DED1的体积为________．

　[V三棱锥A­DED1＝V三棱锥E­DD1A

＝××1×1×1＝.]

4．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________.

a　[设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，

圆柱形容器内的液体体积为πh.

根据题意，有πR2h＝πh，解得R＝a.

再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，

所以h＝a.]

5．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少立方厘米(结果精确到0.1)?

(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？

[解]　(1)因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm，

所以两个半球的体积之和为

V球＝πR3＝π·27＝36π(cm3)．

又圆柱筒的体积为

V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π(cm3)．

所以这种“浮球”的体积是：

V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π

≈169.6(cm3)．

(2)根据题意，上下两个半球的表面积是

S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)．

又“浮球”的圆柱筒的侧面积为：S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)，

所以1个“浮球”的表面积为S＝＝π(m2)．

因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2 500×π＝12π(m2)．

因为每平方米需要涂胶100克，

所以共需要胶的质量为：

100×12π＝1 200π(克)．