人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积练习

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题组一 柱、锥、台的体积
1.如图,几何体ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA'B'B的体积是( )

A.13B.12C.23D.34
2.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( )
A.63 cmB.6 cm
C.2318 cmD.3312 cm
3.已知正六棱柱的侧面积为72 cm2,高为6 cm,那么它的体积为 cm3.
4.如图所示,三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱,且PA,PB,PC两两垂直,已知PA=2,PB=3,PC=4,则三棱锥P-ABC的体积是 .
5.已知某圆台的上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是 .
6.已知四面体ABCD中,AB=CD=13,BC=AD=25,BD=AC=5,求四面体ABCD的体积.
7.如图所示,四棱锥的底面ABCD是一个矩形,AC与BD交于点M,VM是四棱锥的高.若VM=4 cm,AB=4 cm,VC=5 cm,求四棱锥的体积.
题组二 球的体积
8.若将球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的( )
A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍
9.一平面截一球得到直径为25 cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则该球的体积是( )
A.12π cm3B.36π cm3
C.646π cm3D.108π cm3
10.若三个球的表面积之比为1∶4∶9,则这三个球的体积之比为 .
题组三 组合体的体积
11.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的体积为( )
A.72196πa3B.72154πa3
C.73πa3D.72172πa3
12.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为 .
13.如图所示,在△ABC中,AB=2,BC=32,∠ABC=120°,若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的旋转体的体积是 .
能力提升练
一、单项选择题
1.(疑难1,★★☆)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D'C'上,则三棱锥A'-EFQ的体积( )

A.与点E,F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E,F,Q的位置都有关
D.与点E,F,Q的位置均无关,是定值
2.(2019安徽黄山高二上期末质检,★★☆)设矩形的长和宽分别为a和b(a>b),将其按两种方式分别卷成高为a和b的圆柱(无底面),其体积分别为Va和Vb,则Va与Vb的大小关系是( )
A.Va>VbB.Va=Vb
C.Va3.(2018山东济宁高一期末,★★☆)如图,圆柱内有一内切球(圆柱各面与球面均相切),若内切球的体积为43π,则圆柱的侧面积为( )
A.πB.2πC.4πD.8π
二、多项选择题
4.(★★☆)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
5.(★★☆)已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5.下列说法正确的是( )
A.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π
B.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π
C.以AC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π
三、填空题
6.(★★☆)已知球面上有四个点A,B,C,D,球心为点O,O在CD上,若三棱锥A-BCD的体积的最大值为83,则该球O的表面积为 .
7.(疑难2,★★☆)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,如果AB=AC=13,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,那么多面体BB1C1CEF的体积为 .
8.(疑难3,★★☆)边长为2的等边三角形ABC的三个顶点A,B,C都在以O为球心的球面上,若球O的表面积为148π3,则三棱锥O-ABC的体积为 .
四、解答题
9.(疑难2,★★☆)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比.
答案全解全析
基础过关练
1.C ∵VC-A'B'C'=13VABC-A'B'C'=13,
∴VC-AA'B'B=1-13=23.故选C.
2.B 设圆锥形容器中水面的高度为h cm,水面半径为r cm,则母线(含水部分)l=2r(cm),
∴h=3r(cm),即r=3h3(cm),
∴13πr2×h=π×22×6,
∴13π3h32×h=24π,
∴h3=216,解得h=6.
3.答案 363
解析 设正六棱柱的底面边长为x cm,由题意得6x×6=72,所以x=2,
所以该正六棱柱的体积V=34×22×6×6=363(cm3).
4.答案 4
解析 三棱锥的体积V=13Sh,其中S为底面面积,h为高,而三棱锥的任意一个面都可以作为底面,所以此题可把B看作顶点,面PAC作为底面求解.
故V=13Sh=13S△PAC×PB=13×12×2×4×3=4.
5.答案 733π
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上底面=πr2=π,S下底面=πR2=4π,∴r=1,R=2.又S侧=π(r+R)l=6π,∴l=2.∴h=22-(2-1)2=3,∴V=13π×(12+22+1×2)×3=733π.
6.解析 以四面体的各棱为长方体面对角线,还原为长方体,如图所示.
设长方体的长,宽,高分别为x,y,z(x,y,z>0),
则x2+y2=(13)2,y2+z2=(25)2,x2+z2=52,解得x=3,y=2,z=4.
易知VD-ABE=13×DE×S△ABE=16V长方体,
同理,VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=16V长方体,
∴V四面体ABCD=V长方体-4×16V长方体=13V长方体.
又V长方体=2×3×4=24,∴V四面体ABCD=8.
7.解析 ∵VM是棱锥的高,∴VM⊥MC.
在Rt△VMC中,MC=VC2-VM2=52-42=3(cm),∴AC=2MC=6 cm.
在Rt△ABC中,BC=AC2-AB2=62-42=25(cm).
∴S底=AB×BC=4×25=85(cm2),
∴V四棱锥=13S底·VM=13×85×4=3253(cm3).
8.C 设球原来的半径为r,体积为V,则V=43πr3,当球的半径扩大到原来的2倍时,其体积变为原来的23=8倍.
9.B 设球心为O,截面圆心为O1,连接OO1,则OO1垂直于截面圆O1,如图所示.
在Rt△OO1A中,O1A=5 cm,OO1=2 cm,
∴球的半径R=OA=22+(5)2=3(cm),
∴球的体积V=43×π×33=36π(cm3).
10.答案 1∶8∶27
解析 设三个球的半径分别为R1,R2,R3,∵三个球的表面积之比为1∶4∶9,
∴4πR12∶4πR22∶4πR32=1∶4∶9,
即R12∶R22∶R32=1∶4∶9,
∴R1∶R2∶R3=1∶2∶3,
∴R13∶R23∶R33=1∶8∶27,
∴V1∶V2∶V3=43πR13∶43πR23∶43πR33=R13∶R23∶R33=1∶8∶27.
11.B 由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.如图,设点P为三棱柱上底面的中心,O为球心,易知AP=23×32a=33a,OP=12a,所以球的半径R=OA满足R2=33a2+12a2=712a2,所以R=216a,所以V球=43πR3=72154πa3.故选B.
12.答案 10π
解析 用一个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×(2+3)=20π,故所求几何体的体积为10π.
13.答案 32π
解析 由题意得所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥,故其体积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积.
如图,过点A作AD⊥直线BC,垂足为D,易知AD=3,
故所求体积V=13π·AD2·DC-13π·AD2·DB
=13π·AD2·BC=13π×(3)2×32=32π.
能力提升练
一、单项选择题
1.D V三棱锥A'-EFQ=V三棱锥Q-A'EF=13×12×EF×AA'×A'D'=163,所以其体积为定值,与点E,F,Q的位置均无关.
2.C 当卷成高为a的圆柱时,此时设圆柱的底面半径为r1,则2πr1=b,
解得r1=b2π,则圆柱的体积Va=πr12a=ab24π;
当卷成高为b的圆柱时,此时设圆柱的底面半径为r2,则2πr2=a,
解得r2=a2π,则圆柱的体积Vb=πr22b=a2b4π.由a>b得a2b4π>ab24π,即Vb>Va,故选C.
3.C 设球的半径为r,则43πr3=43π,解得r=1,所以圆柱的底面半径r=1,高h=2r=2,所以圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π.
二、多项选择题
4.CD 依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;圆锥的侧面积为πR×5R=5πR 2,∴B错误;球的表面积为4πR2,与圆柱的侧面积相等,∴C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=13πR2·2R=23πR3,V球=43πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3=3∶1∶2,
∴D正确.故选CD.
5.AD 以BC所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,其侧面积为π×3×5=15π,体积为13×π×32×4=12π,故A正确,B错误;以AC所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,侧面积为π×4×5=20π,体积为13×π×42×3=16π,故C错误,D正确.故选AD.
三、填空题
6.答案 16π
解析 由题意知,CD为该球的直径,由此易知,当顶点A在底面的射影为球心O,且底面BCD为等腰直角三角形时,三棱锥A-BCD的体积最大,所以13×12×2R×R×R=83,解得R=2,故球O的表面积S=4πR2=16π.
7.答案 30
解析 在△ABC中,BC边上的高h=(13)2-32=2,
V三棱柱=12BC×h×BB1=12×6×2×6=36,
∵EF=3,A1A=B1B=6,
∴V三棱锥E-ABC+V三棱锥F-A1B1C1=16V三棱柱=6,
故V多面体BB1C1CEF=36-6=30.
8.答案 333
解析 设球的半径为R,则4πR2=148π3,解得R2=373.
设△ABC所在平面截球所得小圆的半径为r,则r=23×32×2=233.
故球心到△ABC所在平面的距离d=R2-r2=373-43=11,即为三棱锥O-ABC的高,所以V三棱锥O-ABC=13S△ABC×d=13×12×2×2×32×11=333.
四、解答题
9.解析 设棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A1B1C1=4S,∴VA1-ABC=13S△ABC·h=13Sh,
VC-A1B1C1=13S△A1B1C1·h=43Sh.
又V台=13(S+4S+2S)h=73Sh,∴VB-A1B1C=V台-VA1-ABC-VC-A1B1C1=73Sh-13Sh-43Sh=23Sh,
∴VA1-ABC∶VB-A1B1C∶VC-A1B1C1=1∶2∶4.