数学选修1-12.1椭圆导学案及答案

椭圆

考点1  椭圆的定义及其应用

【基础知识重温】

1.椭圆的概念

(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．

(2)代数式形式：集合

①若，则集合P为椭圆；

②若，则集合P为线段；

③若，则集合P为空集．

2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，

考点2 椭圆的标准方程

【基础知识重温】

1. 椭圆的标准方程：

（1）焦点在轴，；

（2）焦点在轴，.

2．满足条件：

考点3 椭圆的几何性质

【基础知识重温】

椭圆的标准方程及其几何性质

考点4 直线与椭圆的位置关系

【基础知识重温】

1.直线与椭圆位置关系的判断

(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．

(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．

2．直线与椭圆的相交长问题：

（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．

（2）弦中点问题，适用“点差法”.

考点1  椭圆的定义及其应用

【题组全面展示】

【1-1】[2014·泉州模拟]已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是(　　)

A.圆          B.椭圆         C.双曲线的一支        D.抛物线[来源:Z§xx§k.Com]

【1-2】已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.

【方法规律技巧】

1. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．

2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.

【新题变式探究】

【变式一】设P是椭圆＋＝1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于         (　　)

A．4　　　　　　　　　B．8  

C．6           D．18

【变式二】已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是________．

【综合点评】

应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.

考点2 椭圆的标准方程

【题组全面展示】

【2-1】【2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷）】已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为(    )

A.    B.    C.     D.

考点3 椭圆的几何性质

【题组全面展示】

【3-1】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷）】已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（   ）

A．    B．   C．   D．

【3-2】设是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点， （   ）

A.       B.       C.         D.

【方法规律技巧】

1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题；

2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.

【新题变式探究】

【变式一】椭圆的两顶点为，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)

A．       B．        C．       D．

【变式二】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.[来源:学科网ZXXK]

(1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：的面积只与椭圆的短轴长有关．

考点4 直线与椭圆的位置关系

【题组全面展示】

【4-1】过椭圆左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量与向量共线，则该椭圆的离心率为(    )

   A．    B．   C．   D．

【4-2】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为     

【方法规律技巧】

1.涉及直线与椭圆的基本题型有：

（1）位置关系的判断

（2）弦长、弦中点问题

（3）轨迹问题[来源:学#科#网]

（4）定值、最值及参数范围问题

（5）存在性问题

2．常用思想方法和技巧有：

（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系

3. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．

【新题变式探究】

【变式一】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷）】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则          .

【变式二】2014届湖北省黄冈市高三5月适应性考试直线L：与椭圆E： 相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△ PAB的面积等于3，则这样的点P共有（    ）

A．1个            B．2个               C．3个              D．4个

三、易错试题常警惕

易错典例：【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆的一个焦点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.

易错分析：研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解．

温馨提醒：(1)研究直线与圆锥曲线位置关系问题，要特别注意运用数形结合思想；(2)在解答此类问题时，要注意直线斜率是否存在，分类讨论，避免漏解.

【重难点关联练习巩固与方法总结】

1.【课本典型习题】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，焦距为4，则该椭圆的方程为（   ）

A       B +=1       C +=1       D  +=1

2.【2015届湖北省武汉市高三9月调考】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则（   ）

A．4      B．8      C．12      D．16

3. 【2014高考安徽卷理第14题】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为__________

4. 【2014江西高考理第16题】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为      .

5. 【基础经典试题】在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（    ）

A.6           B.     C.9      D.

【课后强化巩固练习与方法总结】

一、选择题

1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是          （     ）

A.       B.或

C.       D.或

2.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为                                                                                                                                                                                                                                                            （     ）

A.       B.

 C.或    D.以上都不对



3.若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，5），直线y=3x-2与它相交所得的中点横坐标为，则这个椭圆的方程为（    ）

A.       B.

 C.       D.

4.椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（    ）

A.7倍   B.5倍     C.4倍    D.3倍



5.已知椭圆(a＞5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为    （    ）

A.10    B.20      C.2    D.4



二、填空题

6.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则·等于       .

7.在△ABC中，AB=BC，cosB=-，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=      .