高中数学人教版新课标A选修1-1第二章 圆锥曲线与方程2.1椭圆习题

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)

A．(±4,0)　　　　　　　 B．(0，±4)

C．(±3,0) D．(0，±3)

【解析】　根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在y轴上，所以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选D.

【答案】　D

2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>3 B．a<－2

C．a>3或a<－2 D．a>3或－6<a<－2

【解析】　由a2>a＋6>0，得

所以所以a>3或－6<a<－2.

【答案】　D

3．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1

B.＋＝1或＋＝1

C.＋y2＝1

D.＋y2＝1或x2＋＝1

【解析】　a＝，c＝2，

∴b2＝()2－(2)2＝1，

a2＝13，而由于焦点不确定，

∴D正确．

【答案】　D

4．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是(　　)

A．4x2＋y2＝1 B．x2＋＝1

C.＋y2＝1 D．x2＋＝1

【解析】　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.

∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，

∴x＋y＝1.①

将x0＝2x，y0＝y代入方程①，

得4x2＋y2＝1.

故选A.

【答案】　A

5．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　)

A．2 B．4

C．8   D.

【解析】　如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，

∴|ON|＝|MF2|，

又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，

∴|MF2|＝8，∴|ON|＝4.

【答案】　B

二、填空题

6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．

【解析】　当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，

∴c＝1.

∴m－4＝1，m＝5.

当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，

∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.

【答案】　3或5

7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________.               【导学号：26160032】

【解析】　法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．

从而有

解得

又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.

法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

【答案】　＋＝1

8．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．

【解析】　由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.

在△PF1F2中，

cos ∠F1PF2＝＝－.

∴∠F1PF2＝120°.

【答案】　2　120°

三、解答题

9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8；

(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9或15.

【解】　(1)①若焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

由题意知2a＝8，∴a＝4，

又点P(3,2)在椭圆上，

∴＋＝1，得b2＝.

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

②若焦点在y轴上，设椭圆标准方程为

＋＝1(a>b>0)．

∵2a＝8，∴a＝4，

又点P(3,2)在椭圆上，

∴＋＝1，得b2＝12.

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

由①②知椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

(2)由题意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24，

∴a＝12，c＝8，b2＝80.

又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，

∴所求方程为＋＝1或＋＝1.

10．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．

【解】　以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．

由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．

由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，

得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8.

因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．

由a＝5，c＝4，得b2＝9.

所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

[能力提升]

1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)

A.＋＝1

B.＋＝1或＋＝1

C.＋＝1

D.＋＝1或＋＝1

【解析】　由已知2c＝|F1F2|＝2，

∴c＝.

∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，

∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9.

故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.

故选B.

【答案】　B

2．(2016·银川高二检测)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)

A．2 B．4

C．8 D．16

【解析】　设A为椭圆的左焦点，而BC边过右焦点F，如图．可知|BA|＋|BF|＝2a，|CA|＋|CF|＝2a，两式相加得|AB|＋|BF|＋|CA|＋|CF|＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而椭圆标准方程为＋y2＝1，因此a＝2，故4a＝8，故选C.

【答案】　C

3．(2016·苏州高二检测)P为椭圆＋＝1上一点，左、右焦点分别为F1，F2，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．

【解析】　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由椭圆定义，得r1＋r2＝20.①

由余弦定理，得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos 60°，

即r＋r－r1r2＝144，②

由①2－②，得3r1r2＝256，

∴S△PF1F2＝r1r2sin 60°＝××＝.

【答案】　

4．(2016·南京高二检测)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．

(1)若P是该椭圆上的一个动点，求||·||的最大值；

(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；

(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.

【导学号：26160033】

【解】　(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，

所以a＝2，b＝1，c＝，

即|F1F2|＝2，

又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，

所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝4，

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，

所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，即||·||的最大值为4.

(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－.

又＋y＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，

解得λ＝－7或λ＝1，又与方向相反，故λ＝1舍去，即λ＝－7.

(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，

所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，

所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.