数学八年级下册第三章 图形的平移与旋转综合与测试知识点教案设计

专题06 图形的平移与旋转

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重难突破

知识点一  图形的平移  

1、平移的概念

在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.

2、平移的特征

不改变图形的形状，大小，只改变位置.

注意：平移条件

①在同一平面内；②有平移方向；③有平移距离.

3、平移的性质

(1)对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等；

(2)对应线段平行(或在同一条直线上)且相等；

(3)对应角相等.

典例1

(2019春•南山区期末)如图，是正六边形的中心，下列三角形中可由平移得到的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：是正六边形的中心，

，，

沿方向平移可得到．

故选：．

典例2

(2019春•坪山区期末)如图，是由经过平移得到的，若，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，

由平移中对应角相等，得．

故选：．

知识点二  图形的旋转

1、旋转的有关概念

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某一方向转动一个角度，这样的运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫旋转角.

注意：

①旋转中心在旋转过程中保持不动；

②图形的旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角决定；

③将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一角度，意味着图形上每一点同时按相同的方向旋转了相同的角度.

2、旋转的性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；

（3）对应线段相等，对应角相等；

（4）旋转前后的两个图形全等，即旋转不改变图形的形状和大小.

典例1

(2019春•成华区期末)如图所示，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点是点，若点、、在同一条直线上，则三角板旋转的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：旋转角是．

故选：．

典例2

(2019春•简阳市 期末)如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为　　

A．12 B．6 C． D．

【解答】解：连接，

将绕点按逆时针方向旋转得到△，

，，，

△是等边三角形，

，

，

将绕点按逆时针方向旋转得到△，

，，，

是等边三角形，

，

，

，

，

，，，

，

，

，

故选：．

典例3

(2019春•金牛区期末)分别按下列要求解答

(1)将先向左平移7个单位，再下移1个单位，经过两次变换得到△，画出△，点的坐标为　　．

(2)将绕顺时针旋转90度得到△，画出△，则点坐标为　　．

(3)在(2)的条件下，求移动的路径长．

【解答】解：(1)△如图所示，点的坐标为．

故答案为．

(2)△如图所示．，

故答案为

（3）点移动的路径长．

知识点三  中心对称

1、中心对称

如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫它们的对称中心。“两个图形关于某一点对称”可以简称为“两个图形成中心对称”.

注意：

①中心对称是对两个图形来说的，它表示两个图形之间的对称关系；

②成中心对称的两个图形只有一个对称中心，将一个图形绕对称中心旋转180°后能与另一个图形重合.

2、中心对称的性质

成中心对称的两个图形，对应点所连的线段经过对称中心，且被对称中心平分.

3、中心对称图形

（1）把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.

（2）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.

典例1

(2019春•宝安区期末)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；

、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：．

典例2

(2019春•历城区期末)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；

、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

、是不轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．

故选：．

巩固训练

一、单选题(共6小题)

1．(2019春•光明区期末)下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；

、是轴对称图形，是中心对称图形；

、不是轴对称图形，是中心对称图形；

、不是轴对称图形，不是中心对称图形．

故选：．

2．(2019春•武侯区期末)如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至△，使得点恰好落在上，则旋转角度为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

绕点顺时针旋转至△时点恰好落在上，

，

△是等边三角形，

，

旋转角为．

故选：．

3．(2019春•福田区期末)如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为　　

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：，，

，，

绕点按顺时针旋转一定角度得到，

，且

是等边三角形

，

故选：．

4．(2019春•南山区期末)如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕点逆时针方向旋转得平行四边形，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：将绕点逆时针方向旋转到的位置，，

点的坐标是：．

故选：．

5．(2019春•平阴县期末)如图，将绕点顺时针旋转得到△，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：绕点顺时针旋转得到△，

点的对应点为点，点的对应点为点，

作线段和的垂直平分线，它们的交点为，

旋转中心的坐标为．

故选：．

6．(2019春•光明区期末)如图，把绕顶点顺时针旋转得到，若直线垂直平分，垂足为点，连接，，且，下面四个结论：①；②；③的面积的面积；④的面积为，其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：根据旋转的性质可知，，

所以，①正确；

因为是等腰直角三角形，所以，②正确；

和是同底，但高不一样，所以面积不相等，③错误；

因为垂直平分，所以，

所以．

所以面积．

因为点为中点，，

所以过点作的高是的中位线，即为，

所以面积．

所以的面积为，④正确．

故选：．

二、填空题(共5小题)

7．(2018春•织金县期末)在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点的坐标是　　．

【解答】解：点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，

点的横坐标为，

纵坐标为，

点的坐标是．

故答案为：．

8．(2018春•罗湖区期中)如图所示，在中，等于，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为　　．

【解答】解：在中，，，，

，

将绕点逆时针旋转，

，，

，

在中，，

故答案为：．

9．(2018春•罗湖区校级期中)如图，点为等边内一点，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么　2　．

【解答】解：是等边三角形，

，，

旋转角的度数为，

即，

根据旋转得出，

是等边三角形，

，

，

，

故答案为：2．

10．(2019春•锦江区期末)如图，在中，，，为边上一点，且，是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，若恰好在边上，则的长为　　．

【解答】解：如图，延长到，使，连接，

，，

，，

，

又，

，

在和中，

，

，，

，

，

设，则，由得：

，

解得，(不合题意舍去)，

，

，

故答案为：．

11．(2019春•成华区期末)如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为　　．

【解答】解：连结，如图，

为等边三角形，

，，

线段绕点顺时针旋转得到线段，

，，

为等边三角形，

，

，，

，且，

，

，

在中，，，，

，

为直角三角形，，

，

故答案为：．

三、解答题(共2小题)

12．(2019春•武侯区期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网络中，给出了和(网点为网格线的交点)

(1)将向左平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度，画出平移后的图形△；

(2)画出以点为对称中心，与成中心对称的图形△；

(3)求的度数．

【解答】解：(1)如图，△为所作；

(2)如图，△为所作；

(2)平移后的图形△，

，

关于点成中心对称的图形为△，

，

，

连接，如图，，，，

，

△为等腰直角三角形，，

，

的度数为．

13．(2019春•武侯区期末)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，，延长交于点．

(1)求证：；

(2)求证：为的中点；

(3)若，，且，求的长．

【解答】(1)证明：如图1中，

，

，

，

，，

．

(2)证明：如图1中，作于，交的延长线于．

，，，

，

，

，，，

，

．

(3)解：如图1中，作于，交的延长线于．

在中，，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

在中，，

．