高中数学沪教版高中一年级 第二学期6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质教学设计

高一数学春季班（教师版）

1．两角和与差的三角函数

；；        。

2. 辅助角公式

一、两角和与差的正余弦公式

【例1】利用两角和与差的余弦公式证明.

【难度】★

【答案】证明：

【例2】对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（     ） 

A.    B.

C.    D.

【难度】★★

【答案】C

【例3】已知锐角满足，求

【难度】★★

【答案】

【解析】∵为锐角且

由，得  

又 ∴为锐角 ∴

【例4】已知且、、均为钝角，求角的值.

【难度】★★★

【答案】

【解析】 由已知，       

①2+②2

【例5】已知，，，求：、.

【难度】★★

【答案】；

【解析】∵，∴，

又∵，，

∴，

【例6】化简:

【难度】★★★

【答案】

【解析】原式＝

【例7】证明： ，其中.

【难度】★

【答案】证明：（如图）

＝＝.

【例8】利用辅助角公式化简(1)    (2)

     (5)

【难度】★

【答案】（1），（2）（3）

（4）（5）

【例9】已知cos+sin=,则sin的值是      .

【难度】★

【答案】

【巩固训练】

1．利用特殊角的值求.

【难度】★

【答案】

【解析】

＝×－×＝－＝.

2．在中，如果，则为 （   ）

A.钝角三角形  B.直角三角形  C.锐角三角形  D.锐角或直角三角形

【难度】★

【答案】A

3．下列四个命题中假命题是（   ）

A.存在这样的，使得

B.不存在无穷多个，使得

C.对于任意的，

D.不存在这样的，使得

【难度】★★

【答案】B

4．如果，且，那么（     ）

 A． B． C． D．

【难度】★★

【答案】A

5．已知，则的取值范围是__________. 

【难度】★★

【答案】

【解析】令，① ，② 由①2+②2，得. ∴∈［-2,2］.  ∴

6．已知，求的值.

【难度】★★

【答案】

7．已知：实数、满足，求证：。

【难度】★★

【答案】证明：∵，∴，同理.

设，；，

代入，得＝1，

即： ∵，，∴

因此∴.

8．函数的最大值是(    )

A.    B.17     C.13     D.12

【难度】★★

【答案】C

【解析】.

∴最大值为13.

9．求的值为__________.

【难度】★

【答案】

二、两角和与差的正切公式

【例10】利用两角和与差的正弦余弦公式证明tan（α＋β）＝

【难度】★

【答案】证明：tan（α＋β）＝＝＝.

【例11】求值

【难度】★★

【答案】

【例12】如果是方程的两根,则____________.

【难度】★★

【答案】

【解析】

则.

【例13】设，则的值是（    ）

A.   B.   C.   D.

【难度】★★

【答案】B

【例14】在中，求证：

【难度】★★

【答案】证明：, 

【巩固训练】

1．若、为方程的两根，则=      .  

【难度】★

【答案】

2．已知,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,那么tanβ的值等于_____________.

【难度】★

【答案】-7

【解析】∵,α是第二象限角,

∴.∴.∴tanβ=tan［(α+β)-α］.

3．已知，则的值为 ________

【难度】★★

【答案】

4．已知，且满足关系式，则=______.         

【难度】★★

【答案】

5．已知为锐角，证明：的充要条件是

【难度】★★

【答案】证明：(先证充分性)

由即

得

∴ 又   ∴

(再证必要性)由整理得

说明：可类似地证明以下命题：

(1)若，则；

(2)若，则；

(3)若，则

1. 二倍角与半角公式在

1. 三角比的恒等变形中的作用：

   ① 并项与升次：

   ② 降次：，

2．三角函数式的化简

常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

3. 三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

4．三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

1.已知求的值.

【难度】★★

【答案】

2.的值是    (　　)

A.    B.    C.    D.

【难度】★★

【答案】C

【解析】原式＝＝

＝＝.                                  

3. 若，则下列各式中，不正确的是（   ）

   A．                  B．

C．           D．

【难度】★★

【答案】D

4.已知A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，则A＋B等于                  (　　)

A.    B.    C.或    D.

【难度】★★

【答案】B

5.已知，则__________.

【难度】★★

【答案】

6.____ _____

【难度】★★

【答案】1

7. 已知实数a,b均不为零,,且,则等于（    ）

A.   B.   C.   D.

【难度】★★

【答案】 B

【解析】

  ∴故选B.

8.已知求的值.

【难度】★★

【答案】

9.已知，且，求的值.

【难度】★★★

【答案】

【解析】

10. 已知,,

(1)求的值;  (2)求函数的最大值.

【难度】★★

【答案】（1）1；（2）

【解析】 (1)由,得，,

所以.

(2)因为，所以,,

.所以的最大值为.

11.已知  求的值

【难度】★★

【答案】

【解析】

12. 已知，，求

【难度】★★

【答案】

【解析】

,，

13.已知是一元二次方程的2个根,求的值。

【难度】★★

【答案】

【解析】因为 是一元二次方程的2个根

所以,

14．已知

(1)求的值；(2)求的值．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）

【解析】 (1)法一：因为，    所以，

法二：由题设得  即

又，   从而

解得或   因为，   所以

(2)因为 故

，   

所以