高中数学沪教版高中一年级 第二学期第6章 三角函数一 三角函数的图像与性质6.3函数y=Asin(wx@)的图像与性质教学设计

高一数学春季班（教师版）

1、角的正切线：

2、正切函数的图像：

可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，

且的图像，称“正切曲线”.

由正弦函数图像可知：

（1）定义域：，

（2）值域：

观察：当从小于，时，

      当从大于，时，.

（3）周期性：          

（4）奇偶性：，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.

（6）中心对称点：

3、 余切函数的图象：

即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象

由余弦函数图像可知：

（1）定义域：，

（2）值域：

（3）周期性：          

（4）奇偶性：，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.

（6）中心对称点：

一、正切函数的图像

【例1】作函数的图像.

【难度】★★

【答案】如图

【解析】

等价于 ，图像如图所示．

【例2】求函数的定义域、周期、单调增区间，并画草图．

【难度】★★★

【答案】定义域： ，周期：，单调增区间：

【例3】根据正切函数图象，写出满足下列条件的的范围.

（1） （2） （3）  （4）

【难度】★

【答案】

（1）,            （2）

（3）,           （4）

【例4】根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的值的集合：

（1）　　　　   　（2）

【难度】★★

【答案】（1）    

（2）

【例5】比较下列两数的大小

（1）与    （2）与   （3）与

【难度】★

【答案】（1） （2） （3）

【例6】函数与的图像在上的交点有     （      ）

个             个            个            个

【难度】★★

【答案】

【巩固训练】

1．作出函数的图象.

【难度】★★

【答案】如图

2．利用图像，不等式的解集为____________.

【难度】★★

【答案】

3．比较与的大小

【难度】★

【答案】，，

内单调递增.

4．若，试比较，并按从小到大的顺序排列：_________.

【难度】★★

【答案】

二、正切函数的定义域及值域

 1、正切函数的定义域

【例7】求下列函数的定义域

（1）  （2）  （3）   （4）

【难度】★

【答案】（1）

    （2）

    （3） 

    （4）

【例8】求函数的定义域．

【难度】★★

【答案】

【解析】  由此不等式组作图：

∴

【巩固训练】

1．函数的定义域为__________

【难度】★

【答案】

2．与函数的图象不相交的一条直线是                 （      ）

【难度】★

【答案】

3．求下列函数的定义域

(1) ；(2) ．

【难度】★★★

【答案】见解析

解：等价转化为求一个不等式组的解

(1)

(2)

．

注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．

 2、正切函数的值域与最值

【例9】函数的值域为            

【难度】★

【答案】

【例10】若，求函数的最值及相应的值；.

【难度】★★

【答案】时，；  时，

【例11】已知，当时，函数，求实数的值.

【难度】★

【答案】

【例12】求函数的值域.

【难度】★★

【答案】

【巩固训练】

1．求函数的值域

【难度】★★

【答案】

2．求函数的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量的集合.

【难度】★★

【答案】，此时

3．已知，求它的最小值

【难度】★★

【答案】当时，

4．函数的值域为____________

【难度】★

【答案】

【解析】令则转化为的二次函数求最值。

三、正切函数的性质

 1、正余弦函数的周期性

【例13】求下列函数的周期:

（1）     （2）      （3）

（4）      （5）

【难度】★

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）

【巩固训练】

1．函数的周期为_____________.

【难度】★

【答案】

【解析】

2．函数的最小正周期为_____________,

【难度】★

【答案】

3．函数y＝的周期为    

【难度】★★

【答案】

 2、正切函数的奇偶性与对称性

【例14】判断下列函数的奇偶性

【难度】★

【答案】（1）偶函数               （2）既不是奇函数又不是偶函数；

（3）既不是奇函数又不是偶函数     （4）偶函数；

（5）定义域是不关于原点对称，所以此函数是非奇非偶函数。

【例15】求函数的最小正周期，并判断函数的奇偶性.

【难度】★★

【解析】，奇函数.

【例16】求函数的对称中心的坐标．

【难度】★

【答案】

【解析】是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即．

由得

∴对称中心坐标为

【例17】若图象的一个对称中心为，若，求的值.

【难度】★

【答案】

【巩固训练】

1．判断下列函数的奇偶性（1）；（2）；.

【难度】★

【答案】（1）奇函数    （2）偶函数

2．判断下列函数的奇偶性

（1）（2）

【难度】★

【答案】（1）非奇非偶函数   （2）非奇非偶函数

3．函数的图像关于点             成中心对称.

【难度】★

【答案】，.

4．下列坐标所表式的点中，不是函数的图象的对称中心的是    （       ）

【难度】★

【答案】

 3、正切函数的单调性

【例18】求下列函数的单调区间：

（1）       （2）

【难度】★★

【答案】（1）（2）

【解析】（1）令，则

是增函数，且的递增区间为

所以由知：是单调递增区间是：

（2）因为原函数可以化为：

令，则单调递增区间为：

单调递减区间为

【例19】求下列函数的单调区间：

（1）       （2）

【难度】★★

【答案】（1）递增区间   （2）递减区间为

递增区间为

【例20】已知函数在内是减函数，则    （       ）

【难度】★★

【答案】

【例21】已知函数是增函数，值域为，求的值。

【难度】★★

【答案】

【例22】求函数的定义域、值域并指出它的周期性、奇偶性、单调性.

【难度】★★

【解析】(1)定义域    (2)值域：；    (3)周期；

(4) 在上是减函数，在上是递增函数；

(5)是非奇非偶函数。

【例23】已知函数，若.

求证：.

【难度】★★

【答案】略

【例24】设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大.（保留两位小数）

【难度】★★

【解析】 米，由球场宽米，可知米，米，设足球运动员在边线上的点处射球门，，显然越大，越有利于射门，设点与底线的距离为米，则

当且仅当，即时，取最大值，因为当时，为增函数，所以当9（米）时，取最大值

【巩固训练】

1．求函数的单调区间．

【难度】★★

【答案】

【解析】是增函数．

∴

即

函数的单调递增区间是

2．求下列函数的单调区间

（1）     （2）

【难度】★★

【答案】（1）单调递增；

（2）单调递减

3．下列函数中，周期为，且在上是单调递增函数的是     （       ）

【难度】★

【答案】

3．下列命题中正确的是                            （      ）

在第一象限单调递增         在函数中，越大，也越大

当时，总有              的图象关于原点对称

【难度】★

【答案】

4．下列命题中正确的是      （       ）

在第二象限是减函数   在定义域内是增函数

的周期是 是周期为的偶函数

【难度】★

【答案】

5．函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，则的值为 （       ）

【难度】★★

【答案】

6．直线(为常数)与正切曲线为常数，且相交的两相邻点间的距离为（       ）

                                            与值有关

【难度】★★

【答案】

7．已知函数的图像过点，则可以是   （       ）

【难度】★

【答案】

8．在下列函数中，同时满足：①在上递增；②以为周期；③是奇函数的是（       ）

                                        .

【难度】★

【答案】

9．求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

【难度】★★

【解析】令，则由得，

即函数的定义域是

因为函数的值域是R，所以的值域是。

 周期

 既不是奇函数也不是偶函数。

由得

所以函数在上是增函数。

本节课是在学生已经掌握了正弦函数、余弦函数正切函数的图像及性质的前提下，进一步分析和探究余切函数图像和性质及正切函数的图像和性质的应用。例题的设计上从最基本的利用单调性比较大小出发，到函数性质的简单应用，再到单调性和周期性的变式训练，由浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取启发、对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生较开阔的思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力。

1、函数的值域为_________.

【难度】★★

【答案】

2、函数与在上同时为递增的区间是_________.

【难度】★★

【答案】

3、函数的图像关于点_________成中心对称.

【难度】★

【答案】

4、函数的定义域是_________.

【难度】★★

【答案】

5、函数的周期是_________.

【难度】★

【答案】

6、函数的单调区间为_________.

【难度】★★

【答案】

7、已知函数的定义域为，则函数的值域为_________.

【难度】★★

【答案】

8、在下列各函数中，同时满足：（1）在上单调递增；（2）以为最小正周期；（3）为偶函数的是_________（填序号）

①  ②  ③  ④

【难度】★★

【答案】③

9、函数的对称中心是_________.

【难度】★

【答案】

10、若则的取值范围是___________.

【难度】★★

【答案】

11、函数的定义域是   （     ）

            是第一、三象限的角

【难度】★

【答案】

12、下列函数既在上递减，又以为周期的是      （      ）

【难度】★★

【答案】

13、求函数的值域.

【难度】★★

【答案】

14、求函数的值域.

【难度】★★

【答案】

15、若，求的最大值和最小值.

【难度】★★

【答案】

16、作出函数的图像，并求其定义域、值域、单调区间以及最小正周期.

【难度】★★

【答案】图略，定义域为

值域是

单调递增区间为

周期

17、作出函数的图像，根据图像判断其周期，并求出单调区间.

【难度】★★

【答案】图略，不是周期函数

单调递减区间为

单调递增区间为

18、求函数的单调区间及周期.

【难度】★★

【答案】单调递减区间为

19、比较与的大小.

【难度】★★

【答案】

20、当时，不存在正的函数值，求实数的取值范围.

【难度】★★

【答案】

21、若函数的最小值为，求实数的值.

【难度】★★

【答案】

22、已知函数，其中

（1）当时，求函数的最大值与最小值.

（2）求的取值范围，使在区间上是单调函数.

【难度】★★

【答案】（1）当时，

（2）当时，

23、已知函数.

（1）求函数的定义域.

（2）用定义判断函数的奇偶性.

（3）在内作出函数的图像.

（4）写出函数的最小正周期及单调性.

【难度】★★

【答案】（1）

（2）奇函数

（3）图略

（4）单调递减区间为

单调递增区间为