2021学年第6章 三角函数二 反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数教案

这是一份2021学年第6章 三角函数二 反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数教案，共29页。教案主要包含了三角函数图像变换，三角函数综合应用等内容，欢迎下载使用。

高一数学春季班（教师版）
教师

日期

学生

课程编号

课型
同步复习课
课题
三角函数图像变换
教学目标

1．理解正弦、余弦、正切函数的概念，会用“五点法”作图，掌握其单调性、奇偶性、值域及最值；
2．掌握一般正弦函数中参数的物理意义及对函数图像的影响，掌握其基本函数性质；
3．理解周期与周期函数的性质并会求三角函数的周期；
4．掌握一般正弦函数最值的求法并会利用其方法解决类似的最值问题。

教学重点

1．正弦、余弦、正切函数的定义、图像与性质；
2．三角函数的周期及最值．

教学安排

版块
时长
1
知识梳理
10
2
例题解析
60
3
巩固训练
30
4
师生总结
20
5
课后练习
30
……



三角函数图像变换变换


知识梳理




三角函数是高一下学期贯穿整个学期的知识点，认识与了解形如的函数的图像及其性质应用有着举足轻重的作用，学习三角函数图像的变换可以熟练的解决函数的平移、伸缩和旋转变换的问题.
1. 函数的实际意义；
2. 函数图像的变换（平移变换和伸缩变换）.
一般的，函数（其中）的图像可由“五点法”或图像变换法得到．
（1）“五点法”：先求出当为时相对应的值，其次分别求出对应的值，再列表、描点、连线，最后根据函数的周期性，将图像向左、右无限扩展，即可得在上图像．
（2）图像变换法：一般可按下述步骤进行：
①振幅变换：当时，图像上各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）；当时，图像上各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）．
②平移变换：当时，图像上所有点向左平移个单位；当时，图像上所有点向右平移个单位．
③周期变换：当时，图像上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）；当时，图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）．


例题解析










一、三角函数图像变换
1、五点作图法
【例1】作函数及的图像.
【难度】★
【答案】如图
【解析】第一步——列表（见下表）


第二步：描点、作图（见右上图）

【例2】作出的图像.
【难度】★★
【答案】如图
【解析】利用“五点法”作出函数在一个周期上的图像：
令，则
当取时，可相应取得和的值，得到“五点”，再描点作图.








【巩固训练】
1．利用“五点法”作函数（）的图像．
【难度】★★★
【答案】见解析
解：列表，描点，连线即可




















2、三角函数图像变换
【例3】将函数的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】

【例4】为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
【难度】★
【答案】


【例5】将函数的图象向右平移个单位后再作关于轴对称的曲线，得到函数的图象，则的表达式是　　　　（　　）
（A） （B） （C） （D）
【难度】★
【答案】 提示: 的图象关于轴对称的曲线是,向左平移得

【例6】若将函数的图像向右平移1个单位，得到的图像对应的函数解析式是 ．
【难度】★
【答案】

【例7】要想得到的图象，只要把的图象__________.
【难度】★
【答案】向右平移个单位.

【例8】画出函数，大致图像．
【难度】★★★
【答案】



【例9】设函数，讨论函数的性质（有界性，奇偶性，单调性，周期性），并作出函数在上的图像．
【难度】★★★
【答案】值域；偶函数；单调增区间；单调减区间；周期为．



【巩固训练】
1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍，再向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍, 再向左平行移动个单位长度
【难度】★
【答案】．

2．为了得到函数y=sin（2x－）的图象，可以将函数y=cos2x的图象 （ ）
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
【难度】★
【答案】 提示：∵y=sin（2x－）=cos［－（2x－）］=cos（－2x）=cos（2x－）=cos［2（x－）］，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度

3．已知函数．
（1）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个周期；
（2）说明的图像可由的图像经过怎样变换而得到．
【难度】★
【答案】（1）由
．
列表，取点，描图：









1

1

1
故函数在区间上的图象是：


（2）解法一：把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，再把的图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．
解法二：把图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，再把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．

4．若函数图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿轴向右平移个单位，向下平移3个单位，恰好得到的图象，则 ．
【难度】★
【答案】．

5．－1
y
x
0
1
1
－1
y
x
－1
1
0
0.5 1
－1
已知函数的图像的一部分如下方左图，则下方右图的图像所对应的解析式为（ ）






【难度】★
【答案】

6．已知是实数，则函数的图像不可能是 （ ）




【难度】★★
【答案】

7．函数在一个周期内的图像是 （ ）



【难度】★
【答案】

8．要得到函数的图像，需将函数的图像向 平移 个单位
【难度】★★
【答案】右

9．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 （ ）

【难度】★★
【答案】

10．方程有______________个实数根．
【难度】★★★
【答案】6




3、三角函数图像变换的应用
【例10】函数的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．
【难度】★
【答案】；　；；；

【例11】如图，已知函数在一个周期内的图像，求函数的解析式．

【难度】★
【答案】

【例12】函数的部分图象如图所示，则函数表达式为
______________________．
【难度】★
【答案】

【例13】如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点到水面距离(米)与时间(秒)满足函数关系则有 ( )
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】 提示：周期

【例14】求下列函数的最小正周期：
（1）；（2） ．
【难度】★★
【答案】（1）由函数的最小正周期为，得的周期．
（2）



【例15】如下图，某地一天从时到时的温度变化曲线近似满足函数
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式.
【难度】★
【答案】(1)由图示，这段时间的最大温差是；
(2)图中从时到时的图像是函数的半个周期的图像
∴,解得,
由图示,这时,
将代入上式可取
综上所求的解析式为.


【巩固训练】
1．若函数的图象（部分）如下图所示，则和的取值是 （ ）

A．， B．， C．， D．，
【难度】★
【答案】C 提示：由图象知，，∴.
又当时，，∴，
，，当时，.

2．一正弦曲线的一个最高点为，从相邻的最低点到这最高点的图象交轴于，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为 .
【难度】★★
【答案】

3．已知函数的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图像的一条对称轴，若，，，则函数解析式为 ．
【难度】★★
【答案】．


4．函数的最小值是-2，其图象相邻最
高点与最低点横坐标差是3p，又图象过点(0,1)，求函数解析式。
【难度】★
【答案】易知：A = 2 半周期 ∴T = 6p 即 从而：
设： 令x = 0 有
又： ∴ ∴所求函数解析式为


二、三角函数综合应用
【例16】已知函数，
（1） 求函数的最小正周期；
（2） 求函数在区间上的最小值和最大值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）最大值是，最小值为．

【例17】已知函数．
（1） 当时，求函数的单调递减区间；
（2） 当时，在上的值域是，求的值．
【难度】★★
【答案】（1），（2）

【例18】下面有五个命题：①函数的最小正周期是；
②终边在轴上的角的集合是；
③在同一坐标系中，函数的图像和函数的图像有三个公共点；
④把函数的图像向右平移得到的图像；
⑤函数在上是减函数．
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）．
【难度】★★
【答案】①④

【例19】已知函数，若直线为其一条对称轴。（1）试求的值 （2）作出函数在区间上的图象．
【难度】★★
【答案】（1）

是的一条对称轴


（2）用五点作图

【例20】（1）取何值时，方程无解？有一解？有两解？有三解？
（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上，作出其在的图像．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）或时无解；时一解；或时有两解；时三解；（2）定义域为；值域为；周期为；偶函数；增区间：；减区间：．利用五点作图法做出图像。

【例21】已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）．
（1）求；
（2）计算．
【难度】★★
【答案】（1）的最大值为2，.
又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，
.过点，

又.
（2），
.
又的周期为4，，


【例22】已知函数(为常数，，)的图像关于直线对称，则函数是 ( )
A. 偶函数且它的图像关于点对称 B. 偶函数且它的图像关于点对称
C. 奇函数且它的图像关于点对称 D. 奇函数且它的图像关于对称
【难度】★★
【答案】

【例23】设函数
（其中）。且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是．
（1）求的值；
（2）如果在区间上的最小值为，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）
　　　　 依题意得 ．
　 （2）由（1）知，．又当时，
　　　　，故，从而在区间
上的最小值为，故

【例24】若函数的最小值为，且它的图像经过点和．
（1） 写出一个满足条件的函数解析式；
（2） 若函数在上单调递增，求此函数所有可能的解析式；
（3） 若函数在上恰有一个最大值和最小值，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）（答案不唯一，满足：且其中即可）；
（2）；
（3）．

【例25】（1）已知，求的最大值与最小值．
（1）求函数的最大值．
【难度】★★
【答案】（1）由已知得：，，则．
，当时，有最小值；当时，有最大值．
（2）设，则，则，当时，有最大值为．

【解析】第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．

【例26】确定函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．
【难度】★★★
【答案】定义域：，；
值域：；
单调区间：增区间：；减区间：，；
奇偶性：非奇非偶函数；
周期：．

【例27】已知函数的最大值为，的图像与轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为，则=__________.
【难度】★★★
【答案】由题意，的最大值，，
得，不妨取，
相邻两条对称轴间的距离为2，说明的周期，而．
故，其周期为，且，
，，
而，故
．
同理可得当时，可求得

【例28】已知函数，其中，且
（1）函数的图像与轴有没有交点？若没有，说明理由；若有，指出交点个数，并说明理由；
（2）若当时，有最大值，求、的值.
【难度】★★★
【答案】（1），设，因为，所以，
所以，对称轴，因为时， 时，，
从而，
所以由图像特征得关于的方程在上有唯一解，
从而关于的方程在上有两个不同的实根，所以的图像与轴有两个交点.
（2）当时，.所以，
解得.


【巩固训练】
1．设定义在上的函数，则（ ）
A、在区间上是增函数 B、在区间上是减函数
C、在区间上是增函数 D、在区间上是减函数
【难度】★★
【答案】

2．已知函数，．
（1）设是函数图像的一条对称轴，求的值；
（2）求函数的单调递增区间．

【难度】★★★
【答案】（1）当为偶数时，；当为奇数时，．
（2），．

3．函数的图象向右平移（）个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为 （ ）
以上都不对
【难度】★★
【答案】 提示：平移后解析式为，图象关于对称，
∴（），∴（），
∴当时，的最小值为．

4．函数为奇函数的充要条件是　　　　　　　　；
为偶函数的充要条件是　　　　　　　　　　　　　　　．
【难度】★
【答案】　；

5．①函数在它的定义域内是增函数；②若、是第一象限角，且，则；③函数一定是奇函数；④函数的最小正周期为．上列四个命题中，正确的命题是　　　　　．
【难度】★★
【答案】④

6．把图象向左平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小值是　　　　　．
【难度】★★
【答案】

7．方程的解的个数是 ．
【难度】★★★
【答案】51个

8．已知函数（1）求的最小正周期及取得最大值时的集合；（2）求证：函数的图像关于直线对称．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）；；（2）提示：证明．

9．已知函数, ．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的值域以及函数的单调区间．
【难度】★★
【答案】
（2）因为，所以 ,所以
函数的增区间为，减区间为

10．已知函数．
（1）求函数的最小正周期，最大值及取最大值时相应的值；
（2）如果，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】(1); 当，时，取得最大值2.
(2)
【解析】（1）
，所以的最小正周期等于．
当，时，取得最大值2.
（2）由，得，，
的值域为

11．已知函数，．
（1）请指出函数的奇偶性，并给予证明；
（2）当时，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）非奇非偶函数．（2）
【解析】
（1） ，
是非奇非偶函数．
（2）由，得，．
所以．即．

12．已知函数的图象上有一个最低点 ，将图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，然后将所得图象向左平移一个单位得到的图象，若方程的所有正根依次成为从小到大依次差3的一组数，求 的解析式。
【难度】★★★
【答案】原函数可化为（其中为辅助角，满足，
），因为是它的最低点，所以
解得 1
所以 按题给变换后得
方程的的正根就是直线与的图象交点的横坐标，它们成为从小到大依次差3的一组数，即与相邻交点间的距离都相等。
直线满足以上要求只能有三个位置：一是过图象最高点且和x轴平行的直线，二是过图象最低点且和x轴平行的直线，三是和、平行且等距的直线，而图象最低点为，故不可能是．假若直线在，交点间隔为一个周期６，即正根的公差为６，不合题意，所以只能在位置，所以，，此时由
得，正根可组成从小到大依次差3的一组数，符合题意。







反思总结




1.周期函数的定义： .
答：周期函数的定义：对于函数，如果存在非零常数，使对于中让每一个都成立，那么是周期函数，是它的一个周期.
2.函数图形的变换：
途径一：先平移后伸缩
函数图像上点的横坐标 纵坐标变为原来的 倍可得到：
函数图像向 平移 个单位可得到：
函数图像点的纵坐标 ，横坐标变为原来的 倍可得到：

途径二：先伸缩后平移
函数图像点的纵坐标 ，横坐标变为原来的 倍可得到：
函数图像点的横坐标 ，纵坐标变为原来的 倍可得到：
函数图像向 平移 个单位可得到：
.
答：途径一：不变 左 不变 途径二： 不变 不变 左
【利用图像的变换作图像时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.】
3.掌握函数的图像经过变换得到函数图像的过程，熟练掌握函数；；等转化为的方法，从而进一步研究他们的性质：单调性，对称性，周期性、最值等.

课后练习




1．函数的最小正周期是 ．
【难度】★
【答案】

2．已知函数（）的一段图象如
右图所示，则函数的解析式为 ．

【难度】★
【答案】

3．已知函数（），该函数的图象可由（）的图象经过怎样的变换得到？
【难度】★★
【答案】

①由的图象向左平移个单位得图象，
②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的得图象，
③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得图象，
④最后将所得图象向上平移个单位得的图象．

【解析】（1）本题的关键在于化简得到的形式；（2）若在水平方向先伸缩再平移，则要向左平移个单位了．

4．函数的单调递减区间是 ．
【难度】★★
【答案】

5．函数在上的单调递增区间是_______________．
【难度】★★
【答案】

6．函数图像的一条离直线最近的对称轴方程是 ．
【难度】★★
【答案】

7．已知函数，若对任意的，都有，则的最小值为 .
【难度】★★
【答案】

8．函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A、，1 B、 C、 D、
【难度】★★
【答案】A
9．设定义在上的函数，则（ ）
A、在区间上是增函数 B、在区间上是减函数
C、在区间上是增函数 D、在区间上是减函数
【难度】★★
【答案】A

10．函数的图像关于原点对称的充要条件是 （ ）
A、 B、
C、 D、
【难度】★★
【答案】

11．函数的最小值是 ．
【难度】★★
【答案】

12．函数的最大值是 ，最小值是 ．
【难度】★★
【答案】，

13．设函数（为常数）的最大值为1，最小值为，则的最大值是 ．
【难度】★★
【答案】5

14．函数的图像为，如下结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号) ．
① 图像关于直线对称； ② 图像关于点对称；
③ 函数)内是增函数；
④ 由的图像向右平移个单位长度可以得到图像．
【难度】★★
【答案】①②③
【解析】函数的图像为C，
①图像关于直线对称，当时，图像C关于对称；①正确；
②图像C关于点对称，当时，恰好为关于点对称；②正确；
③时，，∴ 函数在区间内是增函数；③正确；
④由的图像向右平移个单位长度可以得，得不到图像. ④不正确.所以应填①②③．

15．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”，则函数的“下确界”为.
【难度】★★★
【答案】0

16．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【难度】★★★
【答案】

17．设函数（其中，），且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）如果在区间上的最小值是，求的值；
（3）在（2）的条件下，的图像按某个向量平移得到，求．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）．

18．已知函数的定义域为，值域，试求函数的最小正周期和最值．
【难度】★★★
【答案】；最大值为，最小值．

19．已知的面积满足，且，与的夹角为．
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最小值．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．