数学八年级上册第一章 勾股定理综合与测试当堂达标检测题

北师大版八年级上册

第1章《勾股定理》单元检测C卷

一．选择题（共12小题）

1. 等腰三角形的腰长为10，底长为12，则这等腰三角形的面积为（　　）

A. 36 B. 48 C. 56 D. 64

【答案】B

【解析】

【分析】

过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．

【详解】过A作AD⊥BC于D．

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=6，由勾股定理得：AD==8，∴△ABC面积是S=BC×AD=×12×8=48．

故选B．

【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，关键是求出△ABC的高AD，题目较好，难度不大．

2. 如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了(   )

A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm

【答案】A

【解析】

【分析】

根据勾股定理可以得到AD和BD长度，然后用AD+BD-AB的长度即为所求.

【详解】根据题意可得BC=4cm，CD=3cm，根据Rt△BCD的勾股定理可得BD=5cm，则AD=BD=5cm，所以橡皮筋被拉长了（5+5）－8=2cm．

【点睛】主要考查了勾股定理解直角三角形.

3. 如图是边长为1的六个小正方形组成的平面图形，经过折叠能围成一个正方体，那么点A、B在围成的正方体上相距（    ）

A. 0 B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

如解图所示，经过折叠围成一个正方体后，点B与点C重合，从而得出结论．

【详解】解：如图所示，经过折叠围成一个正方体后，点B与点C重合，

∵AC=1

∴点A、B在围成的正方体上相距1

故选B．

【点睛】此题考查的是由展开图折成几何体，判断出围成一个正方体后，点B与点C重合是解题关键．

4. 一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明（　　）

A. 没有危险 B. 有危险 C. 可能有危险 D. 无法判断

【答案】B

【解析】

如图所示：

AB=9-4=5，AC=4-1=3，
由勾股定理得：BC=,

∴此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，
故选B．

5. 如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（　　）

A. 0.9米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米

【答案】B

【解析】

试题分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．

解：在Rt△ACB中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4，

∴AC=2，

∵BD=0.9，

∴CD=2.4．

在Rt△ECD中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49，

∴EC=0.7，

∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3．

故选B．

考点：勾股定理的应用．

6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2=48，S3=9，则S1的值为（　　）

A. 18 B. 12 C. 9 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】

过A作AH∥CD交BC于H，根据题意得到∠BAE=90°，根据勾股定理计算即可．

【详解】∵S2=48，∴BC=4，过A作AH∥CD交BC于H，则∠AHB=∠DCB．

∵AD∥BC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH=BH=AD=2，AH=CD=3．

∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AHB+∠ABC=90°，∴∠BAH=90°，∴AB2=BH2﹣AH2=3，∴S1=3．

故选D．

【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

7. 直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（　　）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】

利用勾股定理即可求出斜边长．

【详解】由勾股定理得：斜边长为：=5．

故选B．

【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是解题的关键．

8. 在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（　　）

A. 30 B. 36 C. 72 D. 125

【答案】B

【解析】

【分析】

作CE⊥AD，AF⊥CD，则根据面积法可以证明AD×EC=AF×CD，要求AF，求CE即可，根据AC=CD=5，AD=6可以求得CE，△ABC的面积为×BC×AF．

【详解】解：作CE⊥AD，AF⊥CD，

在△ACD中S=AD·CE=CD·AF，

∵AC=CD，∴AE=DE=3，故CE==4，

∴AF=，

∴△ABC的面积为×（10+5）×=36，

故选 B．

【点睛】本题考查了等腰三角形面积计算，考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中求AF即△ABC中BC边上的高是解题的关键．

9. 如图,在中,,,点在上,,,则的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

根据，可得∠B=∠DAB，即，在Rt△ADC中根据勾股定理可得DC=1，则BC=BD+DC=.

【详解】解：∵∠ADC为三角形ABD外角

∴∠ADC=∠B+∠DAB

∵

∴∠B=∠DAB

∴

在Rt△ADC中，由勾股定理得：

∴BC=BD+DC=

故选B

【点睛】本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住这个特殊条件.

10. 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（　　）

A. 3 B. +2 C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】解：如图展开：

过A作于E，连接AB，则AB长为最短距离，

四边形DFGC是正方形，DC=BC=2，

，

,

,

,

,

,

在中，,,EA=1，

由勾股定理得：

故选C．

11. 已知：如图，无盖无底正方体纸盒ABCD﹣EFGH，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且FP=2PB，GQ=QC，若将这个正方体纸盒沿折线AP﹣PQ﹣QH裁剪并展开，得到的平面图形是（　　）

A. 一个六边形 B. 一个平行四边形

C. 两个直角三角形 D. 一个直角三角形和一个直角梯形

【答案】B

【解析】

试题分析：四个侧面除AEDH没有剪开，其它三个面都剪开，将剪开图形展开即可判断．

解：依题意可知，BP=BF=DH，CQ=CG=DH，

又∵PB∥CQ∥DH，

∴△APB∽△AQC∽△AHD，

∴A、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）

故选B．

点评：本题考查了几何体的展开图．明确只有侧面的四个面，画出展开图．

12. 如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（　　）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】

如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数．

【详解】根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共 8个．

故选C．

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点．

二．填空题（共4小题）

13. 若一个三角形的三边长分别为5.12.13，则此三角形的最长边上的高为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．

【详解】∵，

∴此三角形是直角三角形，

设最长边上的高为h，由三角形面积得：，

解得：．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．

14. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝6，△ABC的面积为cm2，则斜边AB的长是_____cm．

【答案】5

【解析】

【分析】

根据题意得到AC2+2AC•BC+BC2=36，根据三角形的面积公式得到AC•BC=，根据勾股定理计算即可．

【详解】∵AC+BC=6，∴（AC+BC）2=AC2+2AC•BC+BC2=36．

∵△ABC的面积为，∴AC•BC=，∴2AC•BC=11，∴AC2+BC2=25，∴AB==5．

故答案为5．

【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

15. 在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是________米．

【答案】2.60

【解析】

由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形宽，
∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．
于是最短路径为：

故答案是：2.6．

16. 勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____.

【答案】（11，60，61）

【解析】

【分析】

由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）．

【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得

第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；

第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）．

故答案为（11，60，61）．

【点睛】本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．

三．解答题（共6小题）

17. 如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．

（1）求△ABC的周长；

（2）求证：∠ABC=90°．

【答案】（1）△ABC的周长3+5；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．

（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2=AB2+BC2，得出∠ABC=90°．

试题解析：解：（1）AB==2，BC==，AC==5，

△ABC的周长=2++5=3+5，

（2）∵AC2=25，AB2=20，BC2=5，

∴AC2=AB2+BC2，

∴∠ABC=90°．

考点：勾股定理．

18. 如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．

【答案】S四边形ABCD= 90．

【解析】

试题分析：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACD中根据勾股定理求得AC的长，再由等腰三角形的三线合一的性质求得AE的长，在Rt△CAE中，根据勾股定理求得CE的长，根据S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC即可求得四边形ABCD的面积．

试题解析：

连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．

∵AD⊥CD，

∴∠D=90°．

在Rt△ACD中，AD=5，CD=12，

AC=．

∵BC=13，

∴AC=BC．

∵CE⊥AB，AB=10，

∴AE=BE=AB=．

在Rt△CAE中，

CE=．

∴S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC=

19. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32．

（1）求∠BDC的度数；

（2）四边形ABCD的面积．

【答案】（1）90°；（2）24+16

【解析】

【分析】

（1）先根据题意得出△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，进而可求出∠BDC的度数；

（2）根据四边形周长计算BC，CD，即可求△BCD的面积，正△ABD的面积根据计算公式计算，即可求得四边形ABCD的面积为两个三角形的面积的和．

【详解】（1）∵AB=AD=8cm，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形．

∵∠ADC=150°，∴∠BDC=150°﹣60°=90°；

（2）∵△ABD为正三角形，AB=8cm，∴其面积为××AB×AD=16．

∵BC+CD=32﹣8﹣8=16，且BD=8，BD2+CD2=BC2，解得：BC=10，CD=6，∴直角△BCD的面积=×6×8=24，故四边形ABCD的面积为24+16．

【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

20. 如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．

（1）求两船的速度分别是多少？

（2）求客船航行的方向．

【答案】（1）两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；（2）客船航行的方向为北偏东10°方向．

【解析】

【分析】

（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；

（2）依据AB2+AC2=BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，再根据货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10°方向．

【详解】（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得：

4x﹣3x=5．

解得：x=5，∴4x=20，3x=15．

答：两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；

（2）由题可得：AB=15×2=30，AC=20×2=40，BC=50，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°．

又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴∠1=10°．

∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1=10°，∴客船航行的方向为北偏东10°方向．

【点睛】本题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出AB的长是解题的关键．

21. 如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是多少？

【答案】从点A爬到点B的最短路程是10厘米．

【解析】

【分析】

根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．

【详解】圆柱的侧面展开图如图所示．

∵圆柱的底面半径为cm，高为8cm，∴AD=6cm，BD=8cm，∴AB==10（cm）．

答：从点A爬到点B的最短路程是10厘米．

【点睛】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

22. 已知△ABC中，AB=AC，

（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；

（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；

（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2=BD2+4AH2．证明见解析.

【解析】

分析：(1)、根据∠DAE=∠BAC得出∠DAC=∠BAE，结合已知条件得出△ACD和△ABE全等，从而得出答案；(2)、连接BE，根据中垂线的性质以及∠DAE=60°得出△ADE是等边三角形，根据△ABE和△ACD全等得出答案；(3)、过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，则四边形ABFE是平行四边形，设∠AEF=x，∠AED=y，则∠FED=x+y，然后证明△ACD和△EFD全等，得出CD=DF，然后根据BD2+BF2=DF2得出答案．

详解：(1)、如图1，证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，

即∠DAC=∠BAE．∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD=BE；

(2)、连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD=DE，∵∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，

∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°，∵△ABE≌△ACD，

∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，∴BE⊥DE，DE=AD=3， ∴BD=5；

(3)、如图，过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，则四边形ABFE是平行四边形，

∴AB=EF，设∠AEF=x，∠AED=y，则∠FED=x+y，

∠BAE=180°﹣x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°﹣2y，

∠CAD=360°﹣∠BAC﹣∠BAE﹣∠EAD=360°﹣（180°﹣2y）﹣（180°﹣x）﹣y=x+y，

∴∠FED=∠CAD，∴△ACD≌△EFD（SAS），∴CD=DF，

而BD2+BF2=DF2， ∴CD2=BD2+4AH2．

点睛：本题主要考查的是三角形全等的判定与性质，勾股定理的性质，综合性非常强．理解三角形全等的判定法则是解决这个问题的关键．