北师大版八上 第一章《勾股定理》对于能力提升卷

北师大版 数学 八上 第一章 勾股定理  单元能力测试卷

一．选择题（共30分）

1.在 中，的对边分别为， 下列所给数据中， 能判断是直角三角形的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵，，∴，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；

B、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故此选项符合题意；

C、∵，设，则，，∴，解得，，，，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；

D、∵，设，，，∴，解得，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；

故答案为：B.

2.如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（    ）

A．     B．      C．      D．

解：四边形DEFA是正方形，面积是4；

△ABF，△ACD的面积相等，且都是1×2＝1．

△BCE的面积是：1×1．

则△ABC的面积是：4﹣1﹣1．

在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC．

设AC边上的高线长是x．则AC•xx，

解得：x．

故选：C．

3.如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则 等于（　　）

A．9      B．35     C．45   D．无法计算

【答案】C

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2
又∵AB=6，AC=9，
∴MC2-MB2＝45．
故答案为：C．

4.如图，在中，，于点D，E是上一点，且，若，，则的长为（　　）

A．        B．     C．   D．

【答案】B

【知识点】勾股定理；线段的计算

【解析】【解答】解：在中，，

，，

，

，

，

，

，

在中，，

，

故答案为：B.

5.如图， 是等边三角形， 点 为 的中点， ， 垂足为E，EFAB，AE=2，下列结论中错误的是（       ）

A． B． C． 的面积为  D． 的周长为 12

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°，AB=BC=AC，

∵DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∴∠ADE=30°，故A选项正确；

∵AE=2，

∴AD=2AE=4，故选项B正确，

∵

∴，故C选项正确，

∵EFAB，

∴∠CEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=60°，

∴△EFC是等边三角形，

∵D为BA的中点，

∴AC=AB=2AD=8，

∴，

∴△EFC的周长=3×6=18，故选项D不正确，

故选：D．

6.如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，△ABC的面积为，则与的大小关系为（      ）

A． B． C． D．不能确定

解：在Rt△ABC中，

∵，

∴

，

∵．

∴．

故选：C．

7.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）

A．cm B．4cm C．cm D．3cm

答案A

【详解】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为，则

，（负值已舍），故选A

8.如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（  ）

A．13 B．12 C．11 D．10

解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，

在△BAF和△EAF中，

，

∴△BAF≌△EAF(SAS)，

∴BF=EF，

∴AF⊥BE，

又∵AF＝4，AB＝5，

∴，

在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，

∴，

即，

∵，，

∴，∴，

∴，

∴，

在Rt△BDF中，，，

∴，

故选：A．

9．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．6

解：如图，作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM，

∴∠QBM+∠ABC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠PAC+∠ABC=90°，

∴∠QBM=∠PAC，

∵BM=AC，AP＝BQ，

∴△QBM≌△PAC（SAS），

∴MQ=CP，

∴AQ+CP=AQ+MQ，

在△AQM中，AQ+MQ>AM，

当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM，∴AQ+CPAM，

∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴，

∵，，∴，

∴，

即的最小值为.

故选：B.

10.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　）

A． B． C．6 D．

【答案】B

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：设秋千绳索的长度为，

由题意可得，

四边形为矩形，，，，，

∴，，

在中，，

即，

解得，

即的长度为．

故答案为：B．

二．填空题（共24分）

11.如图，在Rt△ABC中，，分别以AB，BC，AC为边向上作正方形，其中阴影部分面积之和为8，则四边形EDAF的面积为______．

解：如图，

∵在Rt△ABC中，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴∠ABC＋∠ACB＝90°，

∵∠EBC＝∠EBF＋∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝∠EBF，即∠DCB＝∠FBE，

又∵BC＝EB，∠DBC＝∠E，

∴△DBC≌△FEB（ASA），

∴，

∴，

∴，

故答案为：4．

12.如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，.则滑道的长度为　     　m.

【答案】10

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：设，

∵，

∴，

∵，

∴在中，，

即，解得，

故答案为：10.

13.如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，米，则BE＝　     　米.

【答案】1

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：∵AB=5， BC=3，

∴AC=，

∵AD＝1，

∴CD=AC-AD=3，

∴CE=，

∴BE=CE-CB=米，

故答案为：1.

14.如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则_______．

解：如图，

∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠BAC=∠EBD，

∴△ABC≌△BDE（AAS），

∴BC=ED，

∵，

∴，

即，

同理．

则．

故答案为：4．

15.如图，在长方形纸片中，，，点M为上一点，将沿翻至，交于点G，交于点F，且，则的长度是　     　.

【答案】

【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：设，则，

由题意得：，

，，，

（AAS），

，，

在中，，

即：，

解得：.

故答案为：.

16．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为_________．

解：连接CE，过点C作于点H，如下图，

∵，即，

∴，

∵AB=AC，AD=AE，

∴，

∴，，

∵∠BAC=90°，

∴，

∴，即，

∴在中，，

∵，

∴，即，

解得，

∵点M是DE上一个动点，则当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，

此时．

故答案为：．

三、解答题（共66分）

17.（6分）在5×5的正方形网格中，点A，点B均在格点上，连结AB，请根据要求完成下列作图：

（1）在图1中找一个格点C，使得△ABC是直角三角形．

（2）在图2中找一个格点D，使得△ABD是三个内角都是锐角的等腰三角形．

【答案】（1）解：当∠A=90°或∠B=90°时；

当∠C=90°时
 

（2）当AB=BD时

 

18.（8分）如图，把长方形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置．

(1)若，求，的度数；

(2)若，，求四边形的面积．

解：（1）四边形是长方形，

ADBC

，

由折叠的性质可知，，

；

（2）长方形纸片沿折叠，

，，

设，则，

，

，

解得，

，，

∵ADBC

又∵∴，

，

．

19.（8分）．有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米.

（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由.

（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？

(1)能通过，理由见解析；(2) 桥洞的宽至少应增加到2.6米.

解：（1）能通过.理由如下：如图①所示，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得，解得，∵，∴卡车能通过.

（2）如图②所示，在直角三角形AOB中，已知OB=1.2，AB=2.8－2.3=0.5，由勾股定理得：，∴，

∴桥洞的宽至少应增加到（米）.

①    ②

20.（10分）．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

答案 解：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，

由（1）得：△ADC≌△CEB，

∴DC=BE=3a，

在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，

∴（4a）2+（3a）2=252，

∵a＞0，

解得a=5，

答：砌墙砖块的厚度a为5cm．

21.（10分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°. 过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD，直线BD交直线AP于点E.

（1）依题意补全图1；

（2）在图1中，若∠PAC=30°，求∠ABD的度数；

（3）若直线AP旋转到如图2所示的位置，请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）解：补全图形如下图：

（2）解：连接AD.

由轴对称的性质可得：∠PAD=∠PAC=30°，AD=AC.

∵AB=AC，

∴AD=AB.     

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD=150°.

∴∠ABE=15°.

（3）解：补全图形，连接CE，AD.

由轴对称的性质可得：CE=DE，AD=AC，

∠ACE=∠ADE.

∵AB=AC，

∴AD=AB.

∴∠ADB=∠ABD.

∴∠ACE=∠ABD.

∵∠ABD+∠ABE=180°，

∴∠ACE+∠ABE=180°.

在四边形ABEC中，

∵∠BAC+∠ABE+∠BEC+∠ACE=360°，

又∵∠BAC=90°，

∴∠BEC =90°.  

∴BE2+CE2=BC2.

∴EB2+ED2=BC2.

22.（12分）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）；

(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．

①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．

②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明．

(3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结CE、BG、GE，则GE＝____．

（1）解：结论：四边形ABCD是垂美四边形．

理由：如图，连接AC和BD，

∵AD＝AB，

∴A在BD的垂直平分线上，

∵CD＝CB，

∴C在BD的垂直平分线上，

∴AC垂直平分BD，

∴四边形ABCD为垂美四边形；

故答案为：是；

（2）①解：∵AC⊥BD，

∴＝1+25+49+4＝79，

＝1+25+49+4＝79，

故答案为：79，79；

②结论：．

理由：∵，

∴，

，

∴；

（3）如图，设AC与BG的交点为N，AB与CE的交点为M，

∵，，

∴，

即，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

∵，

∴，

由（2）得，，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

23.（12分）综合与探究

已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接．

（1）如图1，当点D在边上时，求的度数．

（2）如图2，当点D在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段，，的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，当点D在边的延长线上时，，求线段的长．

【答案】（1）解：∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴．

（2）解：存在的数量关系为．

理由：

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴．

（3）解：∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

故答案为：．