2020-2021学年第三章 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念课时作业

3.1.1　数系的扩充和复数的概念

明目标、知重点

1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．

2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．

3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．  

1．复数的有关概念

(1)复数

①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．

②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.

(2)复数集

①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．

②表示：通常用大写字母C表示．

2．复数的分类及包含关系

(1)复数(a＋bi，a，b∈R)

(2)集合表示：

3．复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.

情境导学]

为解决方程x2＝1，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．

探究点一　复数的概念

思考1　为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？

答　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．

思考2　如何理解虚数单位i?

答　(1)i2＝－1.

(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．

(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．

(4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.

思考3　什么叫复数？怎样表示一个复数？

答　形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部．

思考4　什么叫虚数？什么叫纯虚数？

答　对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．

思考5　复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？

答　不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部．

例1　请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．

①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.

解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．

反思与感悟　复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．

跟踪训练1　符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．

(1)实部为－的虚数；

(2)虚部为－的虚数；

(3)虚部为－的纯虚数；

(4)实部为－的纯虚数．

解　(1)存在且有无数个，如－＋i等；(2)存在且不唯一，如1－i等；(3)存在且唯一，即－i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.

例2　当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

解　(1)当，即m＝2时，复数z是实数；

(2)当

即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；

(3)当，

即m＝－3时，复数z是纯虚数．

反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．

跟踪训练2　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

解　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.

(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.

(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，

且m2＋2m－3≠0，

解得m＝0或m＝－2.

探究点二　两个复数相等

思考1　两个复数能否比较大小？

答　如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．

思考2　两个复数相等的充要条件是什么？

答　复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

例3　已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.

解　由复数相等的充要条件得

解得

反思与感悟　两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．

跟踪训练3　已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值．

解　由复数相等的定义得

解得：x＝3，

所以x＝3为所求．

1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)

A.，1   B.，5

C．±，5   D．±，1

答案　C

解析　令，得a＝±，b＝5.

2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是(　　)

A．±1   B．±i

C．±i   D．±2i

答案　C

3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)

A．1   B．0

C．－1   D．－1或1

答案　B

解析　由题意知，

∴m＝0.

4．下列几个命题：

①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；

②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；

③1－ai(a∈R)是一个复数；

④虚数的平方不小于0；

⑤－1的平方根只有一个，即为－i；

⑥i是方程x4－1＝0的一个根；

⑦i是一个无理数．

其中正确命题的个数为(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　B

解析　命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．

呈重点、现规律]

1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；

2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．

一、基础过关

1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．

“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．

所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．

2．下列命题正确的是(　　)

A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数

B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i

C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1

D．两个虚数不能比较大小

答案　D

解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，

当a＝0且b≠0时为纯虚数．

在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；

在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；

在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．

3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)

A．2－2i  B．－＋i

C．2＋i  D.＋i

答案　A

解析　设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，

由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.

4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)

A.  B．2  C．0  D．1

答案　D

解析　由复数相等的充要条件知，

解得∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.

5．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．－1或1

答案　A

解析　由复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数得解得x＝－1.

6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.

答案　－2

解析　⇒m＝－2.

7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．

解　∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，

∴解得

所以实数x，y的值分别为，2.

二、能力提升

8．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)

A．1  B．－1  C．±1  D．－1或－2

答案　A

解析　由题意，得解得x＝1.

9．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.

答案　2　±2

解析　由z1＝z2得，解得.

10．已知集合M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数a＝________.

答案　－1

解析　由M∩N＝{3}知，3∈M，即有(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，所以解得a＝－1.

11．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

解　(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.

故若使z为实数，则，

解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．

(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.

故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，

所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．

(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.

故若使z为纯虚数，则，

解得m＝－或m＝1.

所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．

12．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1<z2，求实数m的取值范围．

解　由于z1<z2，m∈R，

∴z1∈R且z2∈R，

当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.

当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，

∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1<z2.

∴z1<z2时，实数m的取值为m＝1.

三、探究与拓展

13．如果(m＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然数m，n的值？

解　因为(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以(m＋n)－(m2－3m)i是实数，

从而有

由①得m＝0或m＝3，

当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；

当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾，

综上可得m＝0，n＝1.