高中数学人教版新课标A选修2-23.1数系的扩充和复数的概念课后复习题
展开五年高考练
考点1 复数的概念及其几何意义
1.(2020浙江,2,4分,)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( )
A.1B.-1C.2D.-2
2.(2016课标全国Ⅱ,1,5分,)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-3,1)B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
考点2 复数的模及其应用
3.(2016课标全国Ⅰ,2,5分,)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )
A.1B.2C.3D.2
4.(陕西高考,12,5分,)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( )
A.34+12πB.12+1π C.14-12π D.12-1π
三年模拟练
1.()若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为( )
A.12B.2 C.0D.1
2.()若复数z=csθ-45+sinθ-35i是纯虚数(i为虚数单位,θ∈R),则tanθ-π4的值为( )
A.7B.-17 C.-7 D.-7或-17
3.()根据复数的几何意义,复数z都可以表示为z=|z|(cs θ+isin θ)(0≤θ<2π),其中|z|为z的模,θ称为z的辐角主值.已知z=3-3i,则z的辐角主值为( )
A.2π3B.4π3 C.5π3D.11π6
4.()在复平面内,复数z1,z2对应的点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=25,|z2|=41,则z2等于( )
A.4+5iB.5+4i C.3+4i D.5+4i或15+325i
5.()在复平面内,O为坐标原点,向量OB对应的复数为3-4i,若点B关于原点对称的点为A,点A关于虚轴对称的点为C,则向量OC对应的复数为 .
6.()若复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是 .
7.()已知关于x的方程x2+4x+xi=-4-ai(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于 .
8.()定义运算a bc d=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=3x+2y i-y 1,求实数x,y的值.
9.()已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点),向量OZ与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,求复数z.
答案全解全析
五年高考练
1.C 因为a-1+(a-2)i为实数,a∈R,所以a-2=0,解得a=2,故选C.
2.A 由已知可得m+3>0,m-1<0,解得-3
∴x=1,y=1,∴|x+yi|=|1+i|=12+12=2.故选B.
4.C 由复数的几何意义可知|z|≤1表示的区域为以(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,此区域内满足y≥x的点对应的区域如图中阴影部分所示,
故所求概率P=14π-12π=14-12π,故选C.
三年模拟练
1.D 由复数相等的充要条件知x+y=0,∴2x+y=20=1.
2.C ∵复数z=csθ-45+sinθ-35i是纯虚数,∴cs θ-45=0,sin θ-35≠0,
∴cs θ=45,sin θ=-35,∴tan θ=-34,则tanθ-π4=tanθ-11+tanθ=-34-11-34=-7.
3.C ∵z=3-3i,∴|z|=3+9=23,∴z=2312-32i=23cs5π3+isin5π3,
∴z的辐角主值为5π3,故选C.
4.D 设z2=x+yi(x,y∈R),
由题意得(x-1)2+(y-2)2=20,x2+y2=41,解得x=5,y=4或x=15,y=325.
所以z2=5+4i或z2=15+325i.
5.答案 3+4i
解析 易知点B的坐标为(3,-4),
所以点A的坐标为(-3,4),所以点C的坐标为(3,4),
所以向量OC对应的复数为3+4i.
6.答案 322,3
解析 复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)在复平面内对应的点的坐标为(a-2,a+1),
因为该点位于第二象限,
所以a-2<0,a+1>0,解得-1又|z|=(a-2)2+(a+1)2=2a2-2a+5=2a2-a+14+92=2a-122+92,
所以|z|∈322,3.
7.答案 2-2i
解析 由b是方程x2+4x+xi=-4-ai(a∈R)的实根可得b2+4b+bi=-4-ai,
所以b2+4b=-4,b=-a,解得a=2,b=-2,所以z=2-2i.
8.解析 由题意得3x+2y i-y 1=3x+2y+yi,
故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
因为x,y为实数,所以x+y=3x+2y,x+3=y,
即2x+y=0,x+3=y,解得x=-1,y=2.
9.解析 根据题意可画图,如图所示,
设点Z的坐标为(a,b),
∵|OZ|=|z|=2,∠xOZ=120°,∴a=-1,b=±3,
即点Z的坐标为(-1,3)或(-1,-3),
∴z=-1+3i或z=-1-3i.
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