数学选修2-2第一章 导数及其应用1.1变化率与导数一课一练

1．5.1　曲边梯形的面积

1．5.2　汽车行驶的路程

明目标、知重点

1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．    

2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．

1．曲边梯形的面积

(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．

(2)求曲边梯形面积的方法

把区间a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．

(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．

2．求变速直线运动的(位移)路程

如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

情境导学]

任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？

探究点一　求曲边梯形的面积

思考1　如何计算下列两图形的面积？

答　①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．

问题　如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S?

思考2　图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？

答　已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．

思考3　能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)

答　(如图)可以通过把区间0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．

Sn＝Si≈()2·Δx

＝()2·(i＝1,2，…，n)

＝0·＋()2·＋…＋()2·

＝12＋22＋…＋(n－1)2]

＝(1－)(1－)．

∴S＝Sn＝ (1－)(1－)＝.

求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．

思考4　在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间，](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？

答　以上方法都能求出S＝.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．

例1　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．

解　(1)分割

将区间0,1]等分为n个小区间：

0，]，，]，，]，…，，]，…，，1]，

每个小区间的长度为Δx＝－＝.

过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.

(2)近似代替

在区间，](i＝1,2，…，n)上，以的函数值2作为高，小区间的长度Δx＝作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即

ΔSi≈()2·.

(3)求和

曲边梯形的面积近似值为

S＝Si≈()2·

＝0·＋()2·＋()2·＋…＋()2·

＝12＋22＋…＋(n－1)2]

＝(1－)(1－)．

(4)取极限

曲边梯形的面积为

S＝ (1－)(1－)＝.

反思与感悟　求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确．

跟踪训练1　求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．

解　∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．

由，

得交点为(2,4)，

如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．

(1)分割

将区间0,2] n等分，

则Δx＝， 取ξi＝.

(2)近似代替求和

Sn＝]2·

＝12＋22＋32＋…＋(n－1)2]

＝(1－)(1－)．

(3)取极限

S＝Sn＝ (1－)(1－)＝.

∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝.

∴2S阴影＝，

即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为.探究点二　求变速运动的路程

思考　利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？

答　物体以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s＝vt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间t分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．

例2　汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间行驶的路程是多少？

解　分割

将时间区间0,1]分成n个小区间，0，]，，]，，]，…，，]，…，，1]，

则第i个小区间为，](i＝1,2，…，n)．

(2)近似代替

第i个小矩形的高为v－()]，

∴△si≈v－()]·＝－()2＋2]·.

(3)求和

sn＝－()2＋2]

＝－02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋2

＝－＋2＝－(1－)(1－)＋2.

(4)取极限

s＝sn＝－(1－)(1－)＋2]＝.

∴这段时间行驶的路程为 km.

反思与感悟　(1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决．

(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数v(t)＝－t2＋2在t＝0，t＝1，v(t)＝0形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现．

跟踪训练2　有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？

解　(1)分割

在时间区间0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为，](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，

则显然有s＝si.

(2)近似代替

取ξi＝(i＝1,2，…，n)，用小矩形的面积Δs′i近似地代替Δsi，于是

Δsi≈Δs′i＝v()·Δt

＝3()2＋2]·

＝＋(i＝1,2，…，n)．

(3)求和

sn＝s′i＝(＋)

＝(12＋22＋…＋n2)＋4

＝·＋4

＝8(1＋)(1＋)＋4.

从而得到s的近似值s≈vn.

(4)取极限

s＝sn＝8(1＋)(1＋)＋4]

＝8＋4＝12.

所以这段时间内行驶的路程为12 km.

1．把区间1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　区间1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.

2．函数f(x)＝x2在区间上(　　)

A．f(x)的值变化很小

B．f(x)的值变化很大

C．f(x)的值不变化

D．当n很大时，f(x)的值变化很小

答案　D

解析　当n很大，即Δx很小时，在区间，]上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．

3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi＋1]上的近似值等于(　　)

A．只能是左端点的函数值f(xi)

B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)

C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈xi，xi＋1])

D．以上答案均正确

答案　C

4．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．

答案　1.02

解析　将区间5等分所得的小区间为1，]，，]，，]，，]，，2]，

于是所求平面图形的面积近似等于

(1＋＋＋＋)＝×＝1.02.

呈重点、现规律]

求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：

(1)分割：n等分区间a，b]；

(2)近似代替：取点ξi∈xi－1，xi]；

(3)求和：(ξi)·；

(4)取极限：s＝(ξi)·.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).

一、基础过关

1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间，]上的值，可以近似代替为(　　)

A．f()   B．f()

C．f()   D．f(0)

答案　C

2．在等分区间的情况下f(x)＝(x∈0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(　　)

A.·] B.·]

C. (·) D.·n]

答案　B

解析　∵Δx＝＝.

∴和式为·]．

∴应选B.

3．把区间a，b] (a<b)n等分之后，第i个小区间是(　　)

A．，]

B．(b－a)，(b－a)]

C．a＋，a＋]

D．a＋(b－a)，a＋(b－a)]

答案　D

解析　区间a，b](a<b)长度为(b－a)，n等分之后，

每个小区间长度均为，

第i个小区间是a＋(b－a)，a＋(b－a)](i＝1,2，…n)．

4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为(　　)

A.   B.

C．1   D.

答案　B

解析　曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．

5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　将区间0,1]四等分，得到4个小区间：0，]，，]，，]，，1]，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值

S＝()3×＋()3×＋()3×＋13×＝.

6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　将区间0，a]n等分，记第i个区间为，](i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积()2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则 ()2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝(1＋)(1＋)近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得(1＋)(1＋)]＝9，

∴＝9，

解得a＝3.

7．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．

解　令f(x)＝x2.

(1)分割

将区间0,2] n等分，分点依次为

x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.

第i个区间为，](i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.

(2)近似代替、求和

取ξi＝(i＝1,2，…，n)，

Sn＝f()·Δx

＝ ()2·＝i2

＝(12＋22＋…＋n2)

＝·

＝(2＋＋)．

(3)取极限

S＝liSn＝li (2＋＋)＝，

即所求曲边梯形的面积为.

二、能力提升

8. ＝________.

答案　

解析　 ＝(1＋2＋…＋n)

＝·＝.

9．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为________．

答案　，]

10．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．

答案　55

解析　∵把区间0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.

∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.

11．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间0，t]内物体下落的距离．

解　(1)分割：将时间区间0，t]分成n等份．

把时间0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为t，](i＝1,2，…，n)，

每个小区间所表示的时间段

Δt＝－t＝，

在各个小区间物体下落的距离记作

Δsi(i＝1,2，…，n)．

(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．

在t，]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，

可取ξi使v(ξi)＝g·t近似代替第i个小区间上的速度，

因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为

Δsi≈g·t·(i＝1,2，…，n)．

(3)求和：

sn＝Δsi＝g·t·

＝0＋1＋2＋…＋(n－1)]

＝gt2(1－)．

(4)取极限：s＝ gt2(1－)＝gt2.

即在时间区间0，t]内物体下落的距离为gt2.

三、探究与拓展

12．某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)＝，求物体在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.

解　(1)分割：将区间1,2]等分割成n个小区间1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，区间长度为Δt＝，每个时间段内行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，

则sn≈si.

(2)近似代替：ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，

Δsi≈v(1＋)·Δt＝6·()2·

＝(i＝1,2，…，n)．

(3)求和：

sn＝≈

＝6n(－＋－＋…＋－)

＝6n(－)＝3.

(4)取极限：

s＝sn＝3.