高中人教版新课标A1.1变化率与导数巩固练习

1.1.3　导数的几何意义

明目标、知重点

1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．

2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．

3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．  

1．导数的几何意义

(1)割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .

(2)导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．函数的导数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，

即f′(x)＝y′＝ .

情境导学]

如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．

探究点一　导数的几何意义

思考1　如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

答　当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，该切线的斜率为 ，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)．

思考2　曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？

答　不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2.

思考3　曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？

答　曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．

小结　曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，f(x0))．

思考4　如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？

答　先确定切点P(x0，f(x0)) ，再求出切线的斜率k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方程．

例1　已知曲线y＝x2，

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．

解　(1)设切点为(x0，y0)，

∵y′|x＝x0＝

＝ ＝2x0，

∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为

y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，

由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，

∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，

由P(3,5)在所求直线上得

5－y0＝2x0(3－x0)，①

再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x，②

联立①，②得，x0＝1或x0＝5.

从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．

当切点为(1,1)时，

切线的斜率为k1＝2x0＝2，

此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，

当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，

此时切线方程为y－25＝10(x－5)，

即y＝10x－25.

综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.

小结　(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．

跟踪训练1　已知曲线y＝2x2－7，求：

(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．

解　y′＝

＝

＝ (4x＋2Δx)＝4x.

(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，

∴切点坐标为(1，－5)．

即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0.

(2)由于点P(3,9)不在曲线上．

设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，

故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．

将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，

得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．

解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．

从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.

跟踪训练2　若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．

解　∵y＝x3＋3ax.

∴y′＝

＝

＝3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.

设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，

结合已知条件，得

解得

∴a＝1－.

探究点二　导数与函数的单调性

思考1　观察下边两个图形，在曲线的切点附近(Δx→0时)曲线与那一小段线段有何关系？

答　能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．

思考2　按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？

答　在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．

思考3　如上右图，当t在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？

答　会．当t变化时h′(t)便是t的一个函数，我们称它为h(t)的导函数．

例2　如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．并讨论在(t0，t1)和(t1，t2)两个区间上函数的单调性．

解　用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．

(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．

(4)从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．在(t0，t1)和(t1，t2)上各个切点处的斜率均为负，故函数在这两个区间上均为减函数，在(t1，t2)上函数下降的更快．

反思与感悟　1.导数与函数图象升降的关系：

(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．(2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．

2．导数与函数单调性的关系：

(1) 若函数y＝f(x)在区间a，b]恒有f′(x) >0，则y＝f(x)在区间a，b]上是增函数；若恒有f′(x) <0，则y＝f(x)在区间a，b]上是减函数．

(2)若函数y＝f(x)在区间a，b]是增函数，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间a，b]是减函数，则f′(x)≤0.

跟踪训练3　(1)根据例2图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．

解　函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快．

(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间a，b]上的图象可能是(　　)

答案　A

解析　依题意，y＝f′(x)在a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．

1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(　　)

A．4  B．16  C．8  D．2

答案　C

解析　f′(2)＝

＝ ＝ (8＋2Δx)＝8，即k＝8.

2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)

A．a＝1，b＝1   B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1   D．a＝－1，b＝－1

答案　A

解析　由题意，知k＝y′|x＝0

＝ ＝1，

∴a＝1.

又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.

3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．

答案　(3,30)

解析　设点P(x0,2x＋4x0)，

则f′(x0)＝

＝ ＝4x0＋4，

令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．

呈重点、现规律]

1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.

一、基础过关

1．下列说法正确的是(　　)

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线

B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在

答案　C

解析　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.

2.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)

A．f′(xA)>f′(xB)

B．f′(xA)<f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB)

D．不能确定

答案　B

解析　由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)．

3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是(　　)

A．(0,0)   B．(2,4)

C．(，)   D．(，)

答案　D

解析　∵y′＝

＝ (2x＋Δx)＝2x，

∴令2x＝tan ＝1，得x＝.

∴y＝()2＝.

4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)

A．1  B.  C．－  D．－1

答案　A

解析　∵y′＝

＝ (2a＋aΔx)＝2a，

∴可令2a＝2，∴a＝1.

5．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件li ＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．

答案　－4

解析　由li ＝－2，∴f′(1)＝－2，f′(1)＝－4.

6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.

答案　3

解析　由在M点处的切线方程是y＝x＋2，

得f(1)＝×1＋2＝，

f′(1)＝li ＝li ＝.

∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.

二、能力提升

7．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是(　　)

A．1  B．－1  C.  D．－2

答案　B

解析　∵ ＝－1，

∴ ＝－1，

∴f′(1)＝－1.

8.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于(　　)．

A．2　　　　　　　　　 B．3

C．4   D．5

答案　A

解析　易得切点P(5,3)，

∴f(5)＝3，k＝－1，

即f′(5)＝－1.

∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.

9．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为________．

答案　

解析　∵f′(x)

＝

＝

＝ (Δx＋2x＋2)＝2x＋2.

∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.

由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，

∴点P横坐标的取值范围为.

10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．

解　曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率

k＝y′|x＝1＝

＝ (3Δx＋2)＝2.

∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，

由点斜式得y－2＝2(x＋1)，

即2x－y＋4＝0.

所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.

11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：

(1)它们的交点；

(2)抛物线在交点处的切线方程．

解　(1)由

解得或.

∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．

(2)∵y＝x2＋4，

∴y′＝

＝

＝ (Δx＋2x)＝2x.

∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，

即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.

∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；

在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.

12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

解　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)

＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)

＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，

∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.

当Δx无限趋近于零时，

无限趋近于3x＋2ax0－9.

即f′(x0)＝3x＋2ax0－9

∴f′(x0)＝3(x0＋)2－9－.

当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.

∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，

∴该切线斜率为－12.

∴－9－＝－12.

解得a＝±3.又a<0，

∴a＝－3.

三、探究与拓展

13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．

解　∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，

∴a＋b＋c＝1.①

∵y′＝

＝

＝ ＝ (2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b，

∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.②

又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，③

联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.