章末复习

1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．

2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．

3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．

4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．

5．归纳、猜想、证明

探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.

题型一　归纳推理和类比推理

归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．

运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．

例1　观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)

A．28  B．76

C．123  D．199

答案　C

解析　记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.

跟踪演练1　自然数按下表的规律排列

则上起第2 007行，左起第2 008列的数为(　　)

A．2 0072  B．2 0082

C．2 006×2 007  D．2 007×2 008

答案　D

解析　经观察可得这个自然数表的排列特点：

①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；

②第一行第n个数为(n－1)2＋1；

③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；

④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.

故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.

题型二　直接证明

由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与重点．

综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用．

例2　已知a>0，求证：－≥a＋－2.

证明　要证－≥a＋－2，

只需证＋2≥a＋＋.

∵a>0，故只需证2≥2，

即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋

2＋2，

从而只需证2≥，

只要证4≥2，

即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．

跟踪演练2　

如图，在四面体B－ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：

(1)直线EF∥平面ACD；

(2)平面EFC⊥平面BCD.

证明　(1)要证直线EF∥平面ACD，

只需证EF∥AD且EF⊄平面ACD.

因为E，F分别是AB，BD的中点，

所以EF是△ABD的中位线，

所以EF∥AD，所以直线EF∥平面ACD.

(2)要证平面EFC⊥平面BCD，

只需证BD⊥平面EFC，

只需证

因为所以EF⊥BD.

又因为CB＝CD，F为BD的中点，

所以CF⊥BD.所以平面EFC⊥平面BCD.

题型三　反证法

如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．

反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．

例3　如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB、DF的中点．

(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；

(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

(1)解　法一　

图(1)

如图(1)所示，取CD的中点G，连接MG，NG，设正方形ABCD，DCEF的边长为2，

则MG⊥CD，MG＝2，NG＝，

∵平面ABCD⊥平面DCEF，

∴MG⊥平面DCEF，

∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．

∵MN＝，∴sin∠MNG＝，

∴直线MN与平面DCEF所成角的正弦值为.

图(2)

法二　设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示．

则M(1,0,2)，N(0,1,0)，

∴＝(－1,1，－2)．

又＝(0,0,2)为平面DCEF的法向量，

∴cos〈，〉＝＝－，

∴MN与平面DCEF所成角的正弦值为

|cos〈，〉|＝.

(2)证明　假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，

∵两正方形不共面，

∴AB⊄平面DCEF.

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

∴AB∥EN.又AB∥CD∥EF，

∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．

∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．

跟踪演练3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.

证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，

则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.

∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，

∴a＋b＋c＞0，

这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立，∴a，b，c中至少有一个大于0.

题型四　数学归纳法

1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换．

2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证明．

例4　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．

(1)求r的值；

(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，

证明：对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．

(1)解　由题意：Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，

所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，

由于b＞0且b≠1，

所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．

又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，

＝b，即＝b，解得r＝－1.

(2)证明　当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，

因此bn＝2n(n∈N*)，

所证不等式为··…·＞.

①当n＝1时，左式＝，右式＝.

左式＞右式，所以结论成立．

②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，

即··…·＞，

则当n＝k＋1时，··…··

＞·＝.

要证当n＝k＋1时结论成立，

只需证＞成立，

只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8成立，显然成立，

∴当n＝k＋1时，··…··＞成立，综合①②可知不等式··…·＞成立．

跟踪演练4　数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋1.

(1)写出a2，a3，a4.

(2)求数列{an}的通项公式．

解　(1)因为a1＝1，an＋1＝an＋1，

所以a2＝a1＋1＝＋1＝，

a3＝a2＋1＝·＋1＝，

a4＝a3＋1＝·＋1＝.

(2)法一　猜想an＝，下面用数学归纳法证明．

证明　(1)当n＝1时，a1＝＝1，满足上式，显然成立；

(2)假设当n＝k时ak＝，那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝ak＋1＝·＋1＝＋1＝＝满足上式，即当n＝k＋1时猜想也成立．

由(1)(2)可知，对于n∈N*都有an＝.

法二　因为an＋1＝an＋1，所以an＋1－2＝an＋1－2，即an＋1－2＝(an－2)，

设bn＝an－2，则bn＋1＝bn，

即{bn}是以－1为首项，为公比的等比数列，

所以bn＝b1·qn－1＝－，所以an＝bn＋2＝.

1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理

(1)归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：∀d∈M，d也具有某属性．

(2)类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)

2．使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：

3.数学归纳法的应用必须注意以下两点：

(1)验证是基础

数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”．

(2)递推是关键

数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用一次或几次．