章末复习

1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，即 ＝ .

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．

2．曲线的切线方程

利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：

(1)判断P点是否在曲线上；

(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．

3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．

4．判断函数的单调性

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；

(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．

5．利用导数研究函数的极值要注意

(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的．

(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．

(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．

6．求函数的最大值与最小值

(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．

(2)求函数最值的步骤

一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是函数的最值.

题型一　应用导数解决与切线相关的问题

根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．

例1　(2013·福建)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值．

解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)，

∴f(1)＝1，f′(1)＝－1，

∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0.

①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；

∵x∈(0，a)时，f′(x)＜0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0

∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．

综上当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．

跟踪演练1　已知曲线C的方程是y＝x3－3x2＋2x.

(1)求曲线在x＝1处的切线方程；

(2)若l2：y＝kx，且直线l2与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l2的方程及切点坐标．

解　(1)∵y′＝3x2－6x＋2，

∴y′|x＝1＝3×1－6×1＋2＝－1.

∴l1的斜率为－1，且过点(1,0)．

∴直线l1的方程为y＝－(x－1)，

即l1的方程为x＋y－1＝0.

(2)直线l2过原点，则k＝(x0≠0)，

由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x－3x＋2x0，

∴＝x－3x0＋2.

∵y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3x－6x0＋2.

又k＝，∴3x－6x0＋2＝＝x－3x0＋2，

整理得2x－3x0＝0.∵x0≠0，∴x0＝，

此时y0＝－，k＝－，

因此直线l2的方程为y＝－x，切点坐标为.

题型二　利用导数求函数的单调区间

在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．

例2　已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性．

解　由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，

f′(x)＝1＋－＝.

设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.

①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．

②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．

③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

此时f(x)在上单调递增，

在上单调递减，

在上单调递增．

跟踪演练2　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；

(2)f(x)＝x(x－a)2.

解　 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，又x∈(0，＋∞)，

所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)．

(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，

由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.

①当a>0时，x1<x2.∴函数f(x)的单调递增区间为，(a，＋∞)，单调递减区间为.

②当a<0时，x1>x2，

∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，

单调递减区间为.

③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是递增的．

综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，(a，＋∞)，单调递减区间为.

a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，单调递减区间为.

a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

题型三　利用导数求函数的极值和最值

1．利用导数求函数极值的一般步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)解方程f′(x)＝0的根；

(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．

若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；

若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；

否则，此根不是f(x)的极值点．

2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤

(1)求f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．

特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值， 这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．

例3　已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R),

(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求证：当x＞1时，x2＋ln x＜x3.

(1)解　f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－＝，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，故a＝4.

(2)解　因为f′(x)＝x－＝，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝，所以函数f(x)的单调递增区间(，＋∞)；递减区间为(0，)．

(3)证明　设g(x)＝x3－x2－ln x，则g′(x)＝2x2－x－，因为当x＞1时，g′(x)＝＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝＞0，所以当x＞1时，x2＋ln x＜x3.

跟踪演练3　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；

(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．

解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.

(2)由f(x)＝x3－3x2＋2得，f′(x)＝3x2－6x.

由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2.

①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，

f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.

②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．

f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.

所以f(x)max＝f(0)＝2.

(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，

g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则解得－2<c≤0.

题型四　导数与函数、不等式的综合应用

利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．

例4　设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)．

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取值范围；

(3)当a＝时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．

解　(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a)．

令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．当x＝a时，f(x)取得极小值，f(x)极小值＝f(a)＝b－a3；当x＝3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(3a)＝b.

(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其对称轴为x＝2a.

因为0<a<1，所以2a<a＋1.

所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数．

当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1；

当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4.

于是有即≤a≤1.

又因为0<a<1，所以≤a<1.

(3)当a＝时，f(x)＝－x3＋x2－x＋b.

f′(x)＝－x2＋x－，

由f′(x)＝0，即－x2＋x－＝0，

解得x1＝，x2＝2，即f(x)在上是减函数，

在上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．

要使f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，

即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，

于是有即解得0<b≤.

跟踪演练4　证明：当x∈[－2,1]时，－≤x3－4x≤.

证明　令f(x)＝x3－4x，x∈[－2,1]，

则f′(x)＝x2－4.因为x∈[－2,1]，所以f′(x)≤0，

即函数f(x)在区间[－2,1]上单调递减．

故函数f(x)在区间[－2,1]上的最大值为f(－2)＝，

最小值为f(1)＝－.

所以，当x∈[－2,1]时，－≤f(x)≤，

即－≤x3－4x≤成立．

题型五　定积分及其应用

定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限．

例5　求曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围成图形的面积．

解　

所求面积S＝∫π－dx

＝－－sin xdx＋sin xdx－

 ∫ππsin xdx＝1＋2＋＝4－.

跟踪演练5　求由曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．

解　

如图，由解得交点为(0,1)．所求面积为S＝(ex－e－x)dx

＝(ex＋e－x)＝e＋－2.

1．求函数中参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．

2．在解决问题的过程中主要处理好下面的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．