高中人教版新课标A第二章 推理与证明综合与测试练习题

第二章　推理与证明

易混易错练

易错点1　搞不清数学归纳法中项与项数的变化致错

1.(2019甘肃兰州一中高二期中,★★☆)用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1 (n∈N*)”,验证n=1时,左边计算的式子为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1      B.1+2

C.1+2+22 D.1+2+22+23

2.(★★☆)已知f(n)=+++…+(n∈N*),则(　　)

A.当n=2时, f(2)=+; f(k+1)比f(k)多了1项

B.当n=2时, f(2)=++; f(k+1)比f(k)多了2k+1项

C.当n=2时, f(2)=+; f(k+1)比f(k)多了k项

D.当n=2时, f(2)=++; f(k+1)比f(k)多了2k项

3.(2019安徽屯溪一中高二期中,★★☆)用数学归纳法证明++…+≥(n∈N*)时,从n=k(k∈N*)到n=k+1,不等式左边需添加的项是(　　)

A.++   B.+-

C.-        D.

4.(★★☆)用数学归纳法证明:x2n-1+y2n-1(n∈N*)能被x+y整除.从假设n=k(k∈N*)成立到验证n=k+1是否成立时,被整除式应为(　　)

A.x2k+3+y2k+3 B.x2k+2+y2k+2

C.x2k+1+y2k+1 D.x2k+y2k

5.(★★☆)若命题p(n)对n=k(k∈N*)成立,则它对n=k+2也成立,又已知命题p(1)成立,则下列结论一定正确的是(　　)

A.p(n)对所有自然数n都成立

B.p(n)对所有正偶数n都成立

C.p(n)对所有正奇数n都成立

D.p(n)对所有大于1的自然数n都成立

易错点2　把握不准推理过程致错

6.(2019江西上饶高二期末,★★☆)现有A、B、C、D四位同学被问到是否去过甲,乙,丙三个教师办公室时,A说:“我去过的教师办公室比B多,但没去过乙办公室.”B说:“我没去过丙办公室.”C说:“我和A、B去过同一个教师办公室.”D说:“我去过丙办公室,我还和B去过同一个办公室.”由此可判断B去过的教师办公室为(　　)

A.甲　　　B.乙　　　C.丙　　　D.不能确定

7.(2019广东执信中学高二期中,★★☆)已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁,在某天的某个时刻,他们每人各做一项工作,一人在查资料,一人在写教案,一人在批改作业,另一人在打印资料:(1)甲不在查资料,也不在写教案;(2)乙不在打印资料,也不在查资料;(3)丙不在批改作业,也不在打印资料;(4)丁不在写教案,也不在查资料.此外还可确定,如果甲不在打印资料,那么丙不在查资料.根据以上消息可以判断甲在　　　　　　. 

易错点3　把类比推理的结论作为推理依据致错

8.(★★☆)已知a1,b1,c1,a2,b2,c2都是非零实数,不等式a1x2+b1x+c1<0,a2x2+b2x+c2<0的解集分别为M,N,则“==”是“M=N”成立的　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个) 

易错点4　大小前提错误导致推理错误

9.(2019甘肃武威五中高二月考,★★☆)某西方国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅.”该结论显然是错误的,是因为(　　)

A.大前提错误 B.推理形式错误

C.小前提错误 D.非以上错误

10.(★★☆)正弦函数是奇函数, f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理(　　)

A.结论正确 B.大前提不正确

C.小前提不正确 D.全不正确

思想方法练

一、分类讨论思想

1.(2019西藏拉萨中学高二月考,★★☆)已知函数f(x)=ax2+bx+c及函数g(x)=-bx,其中a,b,c∈R,若a>b>c且a+b+c=0.

(1)证明:f(x)的图象与g(x)的图象一定有两个交点;

(2)请用反证法证明:-2<<-.

二、函数与方程思想

2.(★★☆)已知函数f(x)对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.

(1)求f(0);

(2)求证:f(x)在R上为增函数;

(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.

3.(★★☆)已知0<a<b<1.

(1)试猜想a+ln b与b+ln a的大小关系;

(2)证明(1)中你的猜想.

4.(2019辽宁朝阳第二高级中学高二期中,★★☆)设函数f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).

(1)请将g(5)用f(3)g(2),g(3)f(2)来表示;

(2)请从(1)中推测出一个结论,并加以证明.

三、转化与化归思想

5.(★★☆)已知定义在(-∞,4]上的减函数f(x),若不等式f(m-sin x)≤f对一切实数x都成立,求实数m的取值范围.

答案全解全析

易混易错练

1.D　当n=1时,左边计算的式子为1+2+22+23,故选D.

2.D　当n=2时, f(2)=++; f(k+1)-f(k)=+…+-, f(k+1)比f(k)多了(k+1)2-k2-1=2k项,故选D.

3.B　n=k(k∈N*)时,左边为++…+,

n=k+1时,左边为++…++++,

所以不等式左边需添加的项是++-=+-,故选B.

4.C　当n=k+1时,x2n-1+y2n-1=x2k+1+y2k+1,故选C.

易错警示　本题考查用数学归纳法证明数学命题,注意式子的结构特征,从n=k(k∈N*)到n=k+1项的变化,易错选D.

5.C　若命题p(n)对n=k(k∈N*)成立,则它对n=k+2也成立.

又已知命题p(1)成立,可推出p(3)、 p(5)、 p(7)、 p(9)、 p(11)……均成立,即p(n)对所有正奇数n都成立.

故选C.

6.A　C说:“我和A、B去过同一个教师办公室.”⇒B至少去过一个办公室.A说:“我去过的教师办公室比B多,但没去过乙办公室.”⇒A去过两个办公室,B去过1个办公室.B说:“我没去过丙办公室.”⇒B去过的办公室为甲或乙.由于A、B去过同一个教师办公室,且A没有去过乙办公室,所以B去的是甲办公室,此时也符合D说的.故B去过的教师办公室为甲.

7.答案　打印资料

解析　因为甲不在查资料,也不在写教案,所以甲在批改作业或在打印资料.若甲在批改作业,根据“甲不在打印资料,那么丙不在查资料”以及“丙不在批改作业,也不在打印资料”,得丙在写教案.又“乙不在打印资料,也不在查资料”,则乙可能在批改作业或写教案,即此时乙必与甲或丙工作相同,不满足题意,所以甲不在批改作业.因此甲在打印资料.

8.答案　既不充分也不必要

解析　当==时,可取a1=b1=c1=1,a2=b2=c2=-1,此时M=⌀,N=R,故==⇒/ M=N;

当M=N=⌀时,可取a1=b1=c1=1,a2=1,b2=2,c2=3,但≠≠,即M=N⇒/ ==.

综上,“==”是“M=N”成立的既不充分也不必要条件.

易错警示　将方程的同解原理类比到不等式中,易忽略不等式与等式的本质区别.

9.B　大前提:鹅吃白菜,大前提本身正确,小前提:参议员先生也吃白菜,小前提本身也正确,但不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能进行类比,所以不符合三段论的推理形式,可知推理形式错误.

10.C　函数f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,故小前提不正确.故选C.

易错警示　正确的推理,需要确保大小前提的正确性.

思想方法练

1.证明　(1)由ax2+bx+c=-bx得ax2+2bx+c=0,①

∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0,b=-(a+c),

∴Δ=4b2-4ac=4(a+c)2-4ac

=4a+c2+a2>0,

∴①式有两个不相等的实数根,即两函数图象一定有两个交点.

(2)若结论不成立,则≤-2或≥-.

由≤-2,结合a>0,得c≤-2a,即a+c≤-a,∴-b≤-a,

∴a≤b,这与条件中a>b矛盾;

由≥-,得2c≥-a,即c≥-(a+c)=b,

∴b≤c,这与条件中b>c矛盾.

综上,假设不成立,故-2<<-.

2.解析　(1)令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,

∴f(0)=1.

(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,

则x2-x1>0, f(x2-x1)>1.

∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1,

∴f(x2)=f [(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1),

即f(x2)>f(x1).

故f(x)在R上为增函数.

(3)∵f(ax-2)+f(x-x2)<3,

即f(ax-2)+f(x-x2)-1<2,

∴f(ax-2+x-x2)<2,

∵f(1)=2,

∴f(ax-2+x-x2)<f(1).

又f(x)在R上为增函数,

∴ax-2+x-x2<1,

∴x2-(a+1)x+3>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立.

令g(x)=x2-(a+1)x+3,则对称轴为直线x=,

①当≤1,即a≤1时,二次函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,

由g(1)=-a+3>0,得a<3,

∴a≤1;

②当>1,即a>1时,二次函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,当x=时, g(x)取得最小值,故令g>0,解得-2-1<a<2-1,

∴1<a<2-1.

综上,实数a的取值范围为(-∞,2-1).

导师点睛　关于函数中的恒成立问题,可转化为求函数最值的问题.在本题中求二次函数的最值时要注意抛物线的开口方向和对称轴与区间的位置关系,对于含有字母的问题要注意分类讨论.

3.解析　(1)取a=,b=,则a+ln b=-1,b+ln a=-2,则有a+ln b>b+ln a;

再取a=,b=,则a+ln b=-2,b+ln a=-3,则有a+ln b>b+ln a.

故猜想a+ln b>b+ln a.

(2)证明:令f(x)=x-ln x,则f'(x)=1-,当0<x<1时, f'(x)=1-<0,

故函数f(x)在(0,1)上单调递减,

又因为0<a<b<1,所以f(a)>f(b),

即a-ln a>b-ln b,

即a+ln b>b+ln a.

4.解析　(1)由题意得g(5)=,

f(3)g(2)+g(3)f(2)=·+·=,

所以g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).

(2)由(1)知g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),即g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2).

推测:g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).

证明:因为f(x)=,g(x)=,

所以g(x+y)=,g(y)=,f(y)=,

所以f(x)g(y)+g(x)f(y)=·+·==g(x+y).

所以g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).

5.解析　由题意可得

即

由①对任意实数x都成立,得m-4≤-1,即m≤3;

由②对任意实数x都成立,得m-+≥(cos2x+sin x)max,因为cos2x+sin x=1-sin2x+sin x,sin x∈[-1,1],

所以(cos2x+sin x)max=,所以m-+≥,即2m+1≥2,

解得m=-或m≥.

所以实数m的取值范围为mm=-或≤m≤3.