人教版新课标A选修1-23.2复数代数形式的四则运算教学设计

复数的基本概念及其运算

一、目标要求：

 (1) 复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数的代数表示与向量表示。

 (2) 掌握复数的表示方法。

（3掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算（复数代数形式的加法与减法，乘法与除法）

二、思想方法

  (1)化归思想—将复数问题实数化。

(2)方程思想—利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。

三、教学进程

   1。引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根吗？

2．复数的有关概念和性质：

(1)i称为虚数单位，规定，形如a+bi的数称为复数，其中a，b∈R．

(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)

(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：．

(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．

复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)

向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．

(6)复数与实数不同处:

①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．

②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．

3．复数的代数运算

（1）i=1，i=i，i=1，i=i；

（2）i· i· i·i=1，   i＋i＋i＋i=0；

；

四、典型例题分析

①实数？②虚数？③纯虚数？ ④在复平面上对应的点第三象限?

①复数z是实数的充要条件是：

∴当m＝2时复数z为实数．

②复数z是虚数的充要条件：

∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数

③复数z是纯虚数的充要条件是：

∴ 当m＝1时复数z为纯虚数．

【说明】  要注意复数z实部的定义域是m≠3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．

要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．

例2  (1).若

  (2).复数a+bi与c+di（a，b，c，dR）的积是纯虚数的充要条件是（  ）

     A．   Ｂ．　　Ｃ．

Ｄ．

（3）已知为纯虚数

      求m的对应点的轨迹.

例3.设复数,求实数的值.

例4:计算:

 (2 )1+i+3+…+1000                  

【说明】  计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，

 (2 )  法 1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i)

=250(22i)=500500i

法2：设 S＝1+2i+3+…+1000，则iS＝i+2+3+…+999+1000，

∴(1i)S＝1+i++…+1000

【说明】  充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．

例5 （2004上海市普通高校春季高考数学试卷18）

已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.

【解】由，解得，. 方程的判别式.

，，，由此得方程无实根.

课后训练

1、下列说法正确的是  (    )

A．0i是纯虚数           B．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点

C．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数       D．是虚数

2、下列命题中，假命题是 (    ) 

A．两个复数不可以比较大小      B．两个实数可以比较大小

C．两个虚数不可以比较大小      D．一虚数和一实数不可以比较大小

3、复数1+i++…+等于    (    )

A．i                    B．I           C．2i                  D．2i

4、下列命题中:  (1) 两个复数不能比较大小;

     (2) 若z=a+bi, 则当且仅当a＝0且b≠0时,z为纯虚数;

     (3) (z1-z2)2+(z2-z3)2=0 则z1=z2=z3;

     (4)x+yi=1+i