2020-2021学年第三章 不等式综合与测试当堂达标检测题

第三章过关检测

(时间:90分钟　满分:100分)

知识点分布表

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)

1.若a<0,-1<b<0,则有(　　)

A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a

C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a

答案:D

解析:由-1<b<0,可得1>b2>0>b,由a<0,得ab>ab2>a.

2.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,则A∩B=(　　)

A.{x|-1≤x<0} B.{x|0<x≤1}

C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}

答案:B

解析:由于A={x|-1≤2x+1≤3}={x|-1≤x≤1},B=={x|0<x≤2},

故A∩B={x|-1≤x≤1}∩{x|0<x≤2}={x|0<x≤1}.

3.若x+y>0,a<0,ay>0,则x-y的值为(　　)

A.大于0 B.等于0

C.小于0 D.符号不能确定

答案:A

解析:法一:因为a<0,ay>0,所以y<0.

又x+y>0,所以x>-y>0,所以x-y>0.

法二:a<0,ay>0,取a=-2得,-2y>0,

又x+y>0,两式相加得x-y>0.

4.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为(　　)

A.-3 B.-2 C.-1 D.0

答案:A

解析:由z=x+y得y=-x+z,作出的区域OBC,平移直线y=-x+z,由图象可知当直线经过点C时,直线在y轴上的截距最大,此时z=6,

由解得所以k=3,解得点B(-6,3),由图象可知当直线经过B点时,直线在y轴上的截距最小,因此把点B(-6,3)代入直线z=x+y,得z的最小值为z=-6+3=-3.

5.(2015河南郑州高二期末,9)已知点(2,1)和(-1,3)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是 (　　)

A.-4<a<9 B.-9<a<4

C.a<-4或a>9 D.a<-9或a>4

答案:A

解析:∵点(2,1)和(-1,3)在直线3x-2y+a=0的两侧,

∴(3×2-2×1+a)(-1×3-2×3+a)<0,

即(a+4)(a-9)<0,解得-4<a<9.故选A.

6.(2015河南南阳高二期中,3)若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是(　　)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

答案:A

解析:因为不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),

所以a=b>0.

所以>0等价于(x+1)(x-2)>0.

所以x<-1或x>2.故选A.

7.(2015江西吉安联考,4)已知函数f(x)=则不等式f(x)>0的解集为(　　)

A.{x|0<x<1} B.{x|-1<x≤0}

C.{x|x>-1} D.{x|-1<x<1}

答案:D

解析:∵函数f(x)=

则由不等式f(x)>0可得①或②

解①得0<x<1,解②得-1<x≤0,

综合可得,-1<x<1.故选D.

8.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(　　)

A.60件 B.80件

C.100件 D.120件

答案:B

解析:若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是,存储费用是,总的费用是≥2=20,当且仅当时取等号,即x=80.

9.已知x>0,y>0.若>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.m≥4或m≤-2 B.m≥2或m≤-4

C.-2<m<4 D.-4<m<2

答案:D

解析:∵x>0,y>0.∴≥8(当且仅当时取“=”).若>m2+2m恒成立,则m2+2m<8,解之得-4<m<2.

10.设O是坐标原点,点M的坐标为(2,1).若点N(x,y)满足不等式组则使得取得最大值时点N有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

答案:D

解析:作出可行域为如图所示的△ABC,令z==2x+y.

∵其斜率k=-2=kBC,∴z==2x+y与线段BC所在的直线重合时取得最大值,∴满足条件的点N有无数个.

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)

11.已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为　　　　　. 

答案:18

解析:log2a+log2b=log2(ab).

∵log2a+log2b≥1,

∴ab≥2,且a>0,b>0.

3a+9b=3a+32b≥2=2

≥2≥2=18,

当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立.

∴3a+9b的最小值为18.

12.(2015河南南阳高二期中,9)若方程x2+ax-2=0在区间(1,+∞)上有解,则实数a的取值范围为　　　　　. 

答案:(-∞,1)

解析:x2+ax-2=0在区间(1,+∞)上有解,即a=-x在区间(1,+∞)上有解.令y=-x,

则y'=--1<0对x∈(1,+∞)恒成立,

∴y=-x在(1,+∞)上是递减函数.

故y<y(1)=1,故函数的值域为(-∞,1),

故a的取值范围是(-∞,1).

13.已知实数x,y满足则目标函数z=x-2y的最小值是　　　　　. 

答案:-9

解析:x,y满足的可行域如图中阴影部分所示,平移直线y=x-z,可知当直线过点A(3,6)时,目标函数z=x-2y取得最小值-9.

14.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为　　　　　m. 

答案:20

解析:设DE=x,MN=y,由三角形相似得:

,

即,即x+y=40,

由均值不等式可知x+y=40≥2,

S=x·y≤400,当且仅当x=y=20时取等号,

所以当宽为20 m时面积最大.

三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)

15.(2015山东潍坊四县联考,18)解关于x的不等式(a-x)(x-a2)<0(a∈R).

解:原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0,

当a>1或a<0时,a2>a,原不等式的解集为(-∞,a)∪(a2,+∞);

当0<a<1时,a2<a,原不等式的解集为(-∞,a2)∪(a,+∞);

当a=1时,原不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);

当a=0时,原不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞).

16.已知f(x)=x2+2x+2a-a2,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

解:设g(x)=x2+2x.

因为f(x)>0,所以x2+2x>a2-2a.

只要使g(x)在[1,+∞)上的最小值大于a2-2a即可.

因为g(x)=x2+2x在[1,+∞)上单调递增,

所以g(x)min=g(1)=3.

所以a2-2a<3,解此一元二次不等式,得-1<a<3.

所以实数a的取值范围是(-1,3).

17.一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间[0,1)内,另一个根在区间[1,2]内.

(1)求点(a,b)对应的区域的面积;

(2)求的取值范围;

(3)求(a-1)2+(b-2)2的值域.

解:(1)设f(x)=x2+ax+2b,由已知得

∴点(a,b)组成的区域为如图所示的阴影部分.

由解得故A(-3,1).

由解得故B(-2,0).

由解得故C(-1,0).

∴S△ABC=×|BC|×h=×(2-1)×1=.

(2)记点(1,2)为D,点(a,b)为P,则kPD=,

∵kAD=,kBD=,kCD=1,

∴≤kPD≤1,即≤1.

∴的取值范围为.

(3)易知(a-1)2+(b-2)2=|PD|2,

∵|AD|2=17,|BD|2=13,|CD|2=8,8≤(a-1)2+(b-2)2≤17,

∴(a-1)2+(b-2)2的取值范围是[8,17] .

18.小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为(25-x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).

(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?

(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入-总支出)

解:(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元.

则y=25x-[6x+x(x-1)]-50(0<x≤10,x∈N),

即y=-x2+20x-50(0<x≤10,x∈N).

由-x2+20x-50>0,解得10-5<x<10+5.

而2<10-5<3,故从第3年开始运输累计收入超过总支出.

(2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利润为

[y+(25-x)]

=(-x2+19x-25)=19-.

而19-≤19-2=9,

当且仅当x=5时等号成立.

即小王应当在第5年将大货车出售,才能使年平均利润最大.