高中人教版新课标A1.2.1函数的概念第2课时练习

 www.ks5u.com第2课时　函数的最大(小)值

课时目标　1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．

1．函数的最大值、最小值

2.函数最值与单调性的联系

(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．

(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．

一、选择题

1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≤－3B．a≥－3

C．a≤5D．a≥3

2．函数y＝x＋(　　)

A．有最小值，无最大值

B．有最大值，无最小值

C．有最小值，最大值2

D．无最大值，也无最小值

3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)  B．[0,2]

C．(－∞，2] D．[1,2]

4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)

A．f(－2)<f(0)<f(2)  B．f(0)<f(－2)<f(2)

C．f(2)<f(0)<f(－2)  D．f(0)<f(2)<f(－2)

5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的(　　)

A．最小值是0，最大值是4

B．最小值是－4，最大值是0

C．最小值是－4，最大值是4

D．没有最大值也没有最小值

6．函数f(x)＝的最大值是(　　)

A.B.

C.D.

二、填空题

7．函数y＝的值域是________．

8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝__________.

9．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．

三、解答题

10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.

(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；

(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．

11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

能力提升

12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)(　　)

A．有最大值3，最小值－1

B．有最大值3，无最小值

C．有最大值7－2，无最小值

D．无最大值，也无最小值

13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.

(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；

(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．

(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解．

(2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．

(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．

探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．

第2课时　函数的最大(小)值

知识梳理

1．(1)f(x)≤M　(2)f(x0)＝M　(3)f(x)≥M　(4)f(x0)＝M

2．(1)f(b)　f(a)　(2)f(a)　f(b)

作业设计

1．A　[由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，

解得a≤－3.]

2．A　[∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，

∴y≥f()＝，即函数最小值为，无最大值，选A.]

3．D　[由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，

当x＝1时，y的最小值为2，

当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.

由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.]

4．D　[依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x＝，因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增区间，

所以f(1)<f(2)<f(3)，即f(0)<f(2)<f(－2)．]

5．C　[y＝|x－3|－|x＋1|＝.

因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，

所以－4<y≤4，综上可知C正确．]

6．D　[f(x)＝≤.]

7．(0,2]

解析　观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，

所以当x＝0时，y的最大值为2，即0<y≤2，

故函数y的值域为(0,2]．

8．－2　0

解析　y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，

∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，

得b＝0(b＝6不合题意，舍去)

－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．

9．2

解析　函数y＝－在[－4，－1]上是单调递增函数，

故ymax＝－＝2.

10．解　(1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，

∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f()＝，f(3)＝5，

所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，

即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.

(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，

∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.

故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．

11．解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，

∴f(x)＝ax2＋bx＋1.

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，

∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.

(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，

即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．

令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，

其对称轴为x＝，

∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，

∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.

12．C　[画图得到F(x)的图象：

射线AC、抛物线及射线BD三段，

联立方程组

得xA＝2－，

代入得F(x)的最大值为7－2，

由图可得F(x)无最小值，从而选C.]

13．解　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝.

作图(如右所示)．

(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.

若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，

g(a)＝f(2)＝－3.

若a>0，则f(x)＝a(x－)2＋2a－－1，

f(x)图象的对称轴是直线x＝.

当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，

g(a)＝f(1)＝3a－2.

当1≤≤2，即≤a≤时，

g(a)＝f()＝2a－－1，

当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，

g(a)＝f(2)＝6a－3.

综上可得g(a)＝