高中数学人教版新课标A必修11.2.1函数的概念学案设计

1．2　函数及其表示

1．2.1　函数的概念

授课提示：对应学生用书第14页

[基础认识]

知识点一　函数的概念

　在信息时代的今天，我们经常用手机进行联系，当拨出一个手机号码时，就会有唯一的一个人接听到；但当我们在手机上输入一个人的名字时，可能会有不止一个号码．如果把电话号码和联系人分别作为两个集合时，就形成了一种对应关系．

某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt2，其中g取9.8 m/s2.

(1) 时间t和物体下落的距离s有何限制？

提示：0≤t≤3,0≤s≤44.1.

(2) 时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？

提示：确定．

(3)下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？

提示：不能．　　　

　知识梳理　设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．

思考：f(x)与f(a)有何区别与联系？

提示：f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．

知识点二　区间

　知识梳理　1.一般区间的表示(a，b为实数，且a<b)

2.无穷区间的表示

[自我检测]

1．已知f(x)＝，则f(3)＝(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．4

C．±6  D．10

解析：∵f(x)＝，∴f(3)＝＝2.

答案：A

2．函数f(x)＝有定义域是__________(用区间表示)．

解析：由题意，需1－2x＞0，

解得x＜.

故f(x)的定义域为.

答案：

3．集合{x|1＜x≤10}用区间表示为__________．

解析：集合{x|1＜x≤10}用区间表示为(1,10]．

答案：(1,10]

授课提示：对应学生用书第15页

探究一　函数的概念

[例1]　在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　)

①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝；

②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；

③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25；

④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x2；

⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；

⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.

A．①⑤⑥　　　　　　 B．②④⑤⑥

C．②③④  D．①②③⑤

[解析]　①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．

[答案]　D

方法技巧　1.判断一个对应关系是否为函数的步骤：

(1)判断A，B是否是非空数集；

(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；

(3)判断A是任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．

2．判断函数是否相同的步骤：

(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．

跟踪探究　1.已知集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．给出下列4个图形，其中能表示以集合M为定义域，集合N为值域的函数关系的是(　　)

解析：A中，当0≤x≤2时，N中没有元素与x对应，不能构成函数；C中，一个x有两个y与之对应，所以不是函数；D中，对应满足函数的定义，但不是以N为值域的函数．故选B.

答案：B

探究二　求函数值

　[阅读教材P17例1]已知函数f(x)＝＋，

(1) 求函数的定义域；

(2)求f(－3)，f的值；

(3) 当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．

　题型：求函数值

[例2]　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．

(1)求f(2)，g(2)的值；

(2)求f(g(2))的值．

[解析]　(1)∵f(x)＝，

∴f(2)＝＝.

又∵g(x)＝x2＋2，

∴g(2)＝22＋2＝6.

(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.

方法技巧　1.f(x)表示自变量为x的函数，如f(x)＝2x，而f(a)表示的是当x＝a时的函数值，如f(x)＝2x中f(3)＝2×3＝6.

2．求f{f[f(x)]}时，一般要遵循由里到外的原则．

跟踪探究　2.已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值.

解析：f(1)＝13＋2×1＋3＝6；

f(t)＝t3＋2t＋3；

f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；

f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.

探究三　求函数的定义域

　[阅读教材P19练习1题]求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝＋－1.

　题型：求定义域

[例3]　求下列函数的定义域

(1)f(x)＝2＋；

(2)f(x)＝(x－1)0＋；

(3)f(x)＝·；

(4)f(x)＝－.

[解析]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，

函数y＝2＋有意义，

所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．

(2)函数有意义，当且仅当

解得x>－1且x≠1，

所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．

(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，

所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．

(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，

即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．

延伸探究　1.在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．

解析：由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.

所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．

2．在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)＋的定义域．

解析：由得1≤x≤2.

∴函数的定义域为[1,2]．

方法技巧　求函数定义域的常用方法

(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．

(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．

(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．

跟踪探究　3.函数y＝定义域为(　　)

A．(－∞，1]

B．(－∞，2]

C.∪

D.∪

解析：要使函数y＝有意义，则即所以x≤1且x≠－，故选D.

答案：D

授课提示：对应学生用书第16页

[课后小结]

1．学习了函数及区间的概念，知道了函数的三要素，明确了区间和数集间的关系．

2．在判定函数相等问题时，务必树立定义域优先的原则，若定义域相同，再化简函数解析式，分析函数的对应关系是否相同．

3．由函数式求函数值时，只要认清对应法则，然后代入求值便可，即f(a)就是x＝a时f(x)的函数值．

[素养培优]

　相等函数判断中的误区

下列各组函数相等函数的是(　　)

A．y＝x＋1与y＝

B．y＝|x|＋1和y＝(x－1)2＋1

C．y＝2x和y＝2x(x≤0)

D．y＝x2＋1和y＝t2＋1

易错分析：易失分点一：忽视函数定义域，误认为y＝＝x＋1，而误选A.

易失分点二：忽视对应关系，误认为定义域和值域相同就是相等函数，而误选B.

自我纠正：A错误，由于函数y＝中要求x－1≠0，即x≠1，故两个函数的定义域不同，故不表示相等函数．

B错误，虽然定义域和值域相同，但对应关系不相同，因而不是相等函数．

C错误，显然定义域不同，因此不是相等函数．

D正确，虽然表示自变量的字母不同，但它们定义域和对应关系相同，因此是相等函数．

答案：D