初中数学华师大版九年级下册26.3 实践与探索教案设计

这是一份初中数学华师大版九年级下册26.3 实践与探索教案设计，共7页。教案主要包含了知识与能力，过程与方法，情感态度价值观，教学重点，教学难点，课堂引入，应用举例，拓展提升等内容，欢迎下载使用。

【知识与能力】
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义。
【过程与方法】
经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想。
【情感态度价值观】
通过用二次函数的知识解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣，增强应用数学的意识；在转化、建模的过程中，体验解决问题的方法，培养学生合作交流的意识和探索精神。
教学重难点
【教学重点】
探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法。
【教学难点】
如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型。
课前准备
多媒体
教学过程
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
(展示问题)
1.二次函数常见的形式有哪几种？并说明其图象特征.
2.对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象进行平移时：
向上平移k(k>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为__________；
向下平移k(k>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为________；
向左平移h(h>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为________；
向右平移h(h>0)个单位得到的图象对应的函数表达式为________．
师生活动：教师引导学生回忆知识，学生进行解答，教师做好点评．
在已有知识的基础上提出新的问题，能为学生营造一个主动思考、探索的氛围，提高学生的学习兴趣.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
(1)欣赏一组石拱桥的图片，观察桥拱的形状．这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线的知识来解决吗？
图26－3－12
(2)步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉，喷泉的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？
图26－3－13
本节课，请同学们共同探究尝试解决以下几个问题．
从学生熟知的拱桥和喷泉引入新课，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情，同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
问题1：如图26－3－14是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
师生活动：教师进行引导，提出问题：
对于本题你能联想到应该运用什么知识进行解答？ 图26－3－14
根据问题中的抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答．
学生分组讨论，引导学生如何将文字语言转化为数学语言，建立适当的二次函数模型，利用二次函数的性质解决实际问题．
活动一：针对课堂引入的问题，教师进行提示：
①要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系；
②求水面宽度增加的长度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标；
③必须先求出函数表达式，才能求出点的坐标；
④求函数表达式应该用待定系数法．
师生活动：学生先独立进行解答，然后小组内交流讨论，教师适时点拨，指导学生写出解题过程．
解：如图26－3－15，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，根据图象的特征，设抛物线的函数表达式为y＝ax2，由抛物线经过点A(2，－2)可得－2＝4a，a＝－eq \f(1,2)，所以抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,2)x2，把 图26－3－15
y＝－3代入函数表达式得x＝±eq \r(6)，所以CD－AB＝(2 eq \r(6)－4)米，所以水面的宽度增加了(2 eq \r(6)－4)米.
1.通过日常生活中的实际问题，激发学生的兴趣，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力．
活动
二：
实践
探究
交流
新知
活动二：教师指导学生建立不同的坐标系进行解答．
学生独立完成解题思路，小组内交流比较：建立的坐标系是否相同，计算结果是否一致．
如解法：设x轴通过AB，y轴通过AB的中点O，则通过画图可得知O为原点， 26－3－16
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，由AB＝4米，可得B(－2，0)，A(2，0)，抛物线顶点C的坐标为(0，2)，通过以上条件可设顶点式y＝ax2＋2，其中a可通过代入A点坐标(－2，0)，解得a＝－eq \f(1,2)，所以抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,2)x2＋2，把y＝－1代入上式，解得x＝±eq \r(6)，
所以水面的宽度增加了(2 eq \r(6)－4)米．
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每件每涨价1元，每星期该商品要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设每件涨价x元，每星期获得的利润为y元．
(1)写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)通过适当涨价，每星期获得的利润能否为6500元？如果能，求出此时的售价；若不能，请说明理由．
教师提出问题：
(1)此题能用二次函数知识来解决吗？
(2)如何根据题意建立函数模型呢？
(3)能找出题干中的变量之间的关系吗？
(4)小组讨论如何运用函数知识解决实际问题的一般方法．
学生活动：学生思考、讨论以上问题，并与同学进行交流，达成共识，完成解答过程．
教师引导学生进行归纳总结：
①建立适当的坐标系； ②根据题意找出题目中点的坐标；
③求出抛物线的函数表达式； ④直接利用图象解决实际问题．
2.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数表达式，但结果是相同的，恰当地选择坐标系可以使得解答简便，明确易懂．
3．通过总结抛物线类型实际问题的解题步骤，使学生明确问题的解答方法，思路清晰，明确了方向．
4．通过对实际问题的分析，把问题转化为二次函数的最值问题，体会数学建模思想.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 一自动喷灌设备的喷流情况如图26－3－17所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线形状，喷头B与水流最高点C的连线成45°角，水流最高点C比喷头高2米，求水流落点D到A点的距离．

图26－3－17 图26－3－18
活动
三：
开放
训练
体现
应用
解：建立直角坐标系，过C点作CE⊥y轴于点E，过C点作CF⊥x轴于点F，∴B(0，1.5)，∴∠CBE＝45°，∴EC＝EB＝2米．∵CF＝AB＋BE＝2＋1.5＝3.5，∴C(2，3.5)．
设抛物线的函数表达式为：y＝a(x－2)2＋3.5，又∵抛物线过点B，
∴1.5＝a(0－2)2＋3.5，∴a＝－eq \f(1,2)，∴y＝－eq \f(1,2)(x－2)2＋3.5＝－eq \f(1,2)x2＋2x＋eq \f(3,2)，∴所求抛物线的函数表达式为：y＝－eq \f(1,2)x2＋2x＋eq \f(3,2)，∵抛物线与x轴相交时y＝0，
即x2－4x－3＝0，解得x1＝2＋eq \r(7)，x2＝2－eq \r(7)(舍去)，∴D(2＋eq \r(7)，0)，∴水流落点D到A点的距离为2＋eq \r(7).
师生活动：学生按要求解答问题，教师做好指导、点拨．
教师关注：
(1)学生能否熟练运用二次函数的有关知识解决实际问题；
(2)学生是否具有探索精神．
变式训练
1．从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面eq \f(40,3) m，则水流落地点B离墙的距离OB是(B)
A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m
2.如图26－3－19是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，则两盏景观灯之间的水平距离是(C) 图26－3－19
A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m
通过抛物线与学生常见情景相联系的题目的展示，拓宽学生视野，提高学生灵活运用知识解决问题的能力
【拓展提升】
例2 某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量t(件)与每件的销售价x(元/件)如下表：
x(元/件)
38
36
34
32
30
28
26
t(件)
4
8
12
16
20
24
28
假定试销中每天的销售量t(件)与销售价x(元/件)之间满足一次函数关系.
(1)试求t与x之间的函数表达式；
(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，每件服装的销售价定为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？(注：每件服装销售的毛利润＝每件服装的销售价－每件服装的进货价)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
解：(1)设t与x之间的函数表达式为：t＝kx＋b，因为其图象经过(38，4)和(36，8)两点，
(2)设每天的毛利润为w元，每件服装销售的毛利润为(x－20)元，每天售出(80－2x)件，
则w＝(x－20)(80－2x)＝－2x2＋120x－1600
＝－2(x－30)2＋200，当x＝30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元．
例3 如图26－3－20，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心离地面的高度为3.05 m.
(1)建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；
(2)若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？
图26－3－20
解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋3.5.
∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05＝a×1.52＋3.5，∴a＝－eq \f(1,5)，∴y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5.
(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，因为(1)中求得y＝－eq \f(1,5)x2＋3.5，则球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m，∴h＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5，∴h＝0.2 m．故球出手时，他跳离地面的高度为0.2 m.
师生活动：学生独立解答，再合作交流，然后展示成果．教师巡视，观察学生解决问题的过程与方法，并给予学困生以及时的引导和帮助．
激发学生的学习欲望和兴趣，又让学生切实地感受到数学就在身边的亲切感．让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移，让学生体验数学的建模思想，增强应用意识．
活动
四：
教学
活动
反思
【达标测评】
1.某市广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管所喷出水柱的最大高度为3米，此时喷水管与最高点的水平距离为eq \f(1,2)米．若水柱是抛物线形，在如图26－3－21所示的坐标系中，这支喷泉最远能喷__eq \f(2＋\r(6),4)__米．(结果保留根号)
图26－3－21
活动
四：
教学
活动
反思
2.如图26－3－22是一学生推铅球时铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的函数图象，观察图象可知，铅球推出的距离是__10__m.
图26－3－22
3．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，则厂门的高(水泥建筑物厚度不计，精确到0.1米)为__9.1__米．
图26－3－23
4．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？
解：设每件提高x元，则列函数表达式为
y＝(30＋x－20)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000(0所以当x＝5时，y的最大值为4500.
学生进行达标测评，完成后，教师进行批阅，点评、讲解．
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
【课堂小结】
(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.