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华师大版九年级下册26.3 实践与探索公开课第三课时教案设计
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这是一份华师大版九年级下册26.3 实践与探索公开课第三课时教案设计，共5页。教案主要包含了问题引入，探究新知，讲解例题，巩固新知，巩固练习，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。
第三课时 二次函数与方程、不等式之间的关系（一）
＆.教学目标：
1、会求二次函数与坐标轴的交点坐标。
2、经历探索二次函数的对称轴、顶点坐标、最值等情况的研究，掌握、、对于二次函数所起到的作用。
3、了解二次函数与一元二次方程、一元一次不等式之间的关系。
＆.教学重点、难点：
重点：灵活地利用、、的性质解决二次函数的相关问题。
难点：了解二次函数与一元二次方程、一元一次不等式之间的关系。
＆.教学过程：
一、问题引入
问题1：请作出下列三个函数的图象。
（1）；（2）；（3）．
问题2：观察图象，并解决下列问题。
（1）请你说出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性？
（2）图象与轴的交点个数，分别是几个交点？你知道图象与轴的交点个数与什么有关吗？
二、探究新知
探索：画出函数的图象，根据图象回答下列问题。
（1）图象与轴、轴的交点坐标分别是什么？
（2）当取何值时，？这里的取值与方程有什么关系？
（3）取什么值时，函数值？取什么值时，函数值.
教学方法：利用数形结合的思想，引导学生观察分析，总结规律。
解析：因为轴上的点的纵坐标为，所以二次函数的图象与轴的交点即图象上纵坐标为的点，它的横坐标也就是方程的根，也就是说，当取或时，；这里的值就是方程的根；因为轴上的点横坐标为，这个函数图象与轴的交点，即时，求出的的值就是与交点的纵坐标.这个函数图象在轴上方的部分的点，它的纵坐标都为正，所以当或时，；同理，当时，.
答案：（1）图象与轴的交点坐标为（，）、（，），与轴的交点坐标为（，）．
（2）当或时，，的取值与方程的解相同。
（3）当或时，；当时，．
思考：通过上述图象，请你思考下列问题。
（1）二次函数的图象及性质与、、有什么关系？
（2）你能利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
教学方法：结合图形，学生合作交流，教师引导学生归纳总结。
§.归纳二次函数的性质：
1.决定抛物线的开口方向，当时，抛物线的开口向上，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，；当时，抛物线的开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，；
2.、共同决定抛物线的对称轴在轴的左侧还是右侧。当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧；
3.决定抛物线与轴的交点情况.当时，抛物线与轴交点在轴正半轴；当时，抛物线经过原点；当时，抛物线与轴交点在轴负半轴；
4.、、共同决定抛物线与轴的交点情况.当时，抛物线与轴有两个不同的交点，设一元二次方程（）的两个实数根为、，则抛物线（）与轴的两个交点、坐标分别为（，）、（，），利用
根与系数之间的关系得；当时，抛物线与轴有一个交点；当时，抛物线与轴没有交点；（抛物线与轴交点的横坐标就是的根）
5.一元二次不等式的解集可观察对应二次函数的图象得到：（）的解集实质就是抛物线（）在轴上方的部分对应的自变量取值范围，（）的解集实质就是抛物线（）在轴下方的部分对应的自变量取值范围。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、根据图象，在下列表格中填上“”、“”、“”.
（1）；（2）；（3）；（4）.
-1
x
y
图 1
1
解析：观察图象的开口方向，对称轴位置，图象与轴的交点情况，可以依次确定出、、及有关代数式值的符号。
解：如图可得：，，得：
由抛物线与轴有两个交点得：
再由，得：.
同步练习：二次函数的图象过原点，求的值？若抛物线的顶点在轴上，那么的值呢？
方法归纳：结合图象判断二次函数的解析式中待定系数及有关代数式的符号，通常须观察开口方向、对称轴的位置、与轴交点的个数以及与轴交点的大概位置等。
§.例2、已知函数，其中，，.试问：
（1）抛物线的对称轴在轴的左侧还是右侧；
（2）抛物线同轴有无交点？若有，请求出交点坐标；
（3）抛物线同轴的交点在轴上方还是下方。
解析：（1）由，，得：对称轴在轴的左侧；
（2）由得抛物线同轴有交点，交点坐标为（，）
（3）抛物线同轴的交点（，），由得抛物线同轴的交点在轴下方。
§.例3、若抛物线的图象经过二、三、四象限，且不过原点。
（1）顶点在第几象限？
（2）（，）在第几象限.
解析：（1）第二象限；（2）第一象限。
同步练习：抛物线过一、二、三象限，且不过原点。
（1）顶点在第几象限？
（2）点（，）在第几象限.
§.例4、二次函数.
（1）求证：无论为何值，它们的图象与轴一定有两个交点；
（2）取何值时，这两个交点恰在原点左右两侧；
（3）取何值时，它的对称轴是轴；
（4）为何值时，它的图象在轴截取的线段长是.
解析：（1）由得无论为何值，它们的图象与轴一定有两个交点。
（2）设抛物线与轴的两交点坐标为（，）、（，）
若交点在原点的两侧，则
得：，解得：
（3）若对称轴为轴，则，解得：.
（4）它的图象在轴截取的线段长是，则，解得.
同步练习：已知二次函数.
（1）试说明：不论取何值，这个二次函数的图象必与轴有两个交点；
（2）为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是轴；
（3）为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
§.例5、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。
x
O
y
图 2
2
3
1
2
解析：（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，结合图象可得；（2）不等式的解集实际上就是判断在自变量取什么值时函数值大于；（3）由二次函数的图象特征可判断；（4）观察抛物线与平行于轴的直线须有两个公共点可知的取值范围。
解：（1），；（2）；（3）；（4）.
变式训练：抛物线与交于点（，）.
（1）求出的值并画出这条抛物线；
（2）求它与轴的交点和抛物线的顶点坐标；
（3）取什么值时，抛物线在轴的上方；
（4）取什么值时，随的增大而减小.
归纳：抛物线与轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，轴上方的图象对应的自变量的范围就是不等式的解集；一元二次方程的解一般是观察抛物线与轴的交点，也可能观察抛物线与直线的交点；同一抛物线上纵坐标相等的点关于该抛物线的对称轴对称。
四、巩固练习
1、教材 练习
2、解答下列各题.
（1）已知抛物线与轴相交于两点，求的取值范围。
（2）已知二次函数的图象的最低点在轴上，求的值。
（3）已知抛物线与轴交于两点（，），（，），且，求的值。
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、会求二次函数与坐标轴的交点坐标。
2、经历探索二次函数的对称轴、顶点坐标、最值等情况的研究，掌握、、对于二次函数所起到的作用。
3、了解二次函数与一元二次方程、一元一次不等式之间的关系。
六、课外作业
1、教材 习题26.3
第三课时 二次函数与方程、不等式之间的关系（一）
＆.教学目标：
1、会求二次函数与坐标轴的交点坐标。
2、经历探索二次函数的对称轴、顶点坐标、最值等情况的研究，掌握、、对于二次函数所起到的作用。
3、了解二次函数与一元二次方程、一元一次不等式之间的关系。
＆.教学重点、难点：
重点：灵活地利用、、的性质解决二次函数的相关问题。
难点：了解二次函数与一元二次方程、一元一次不等式之间的关系。
＆.教学过程：
一、问题引入
问题1：请作出下列三个函数的图象。
（1）；（2）；（3）．
问题2：观察图象，并解决下列问题。
（1）请你说出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性？
（2）图象与轴的交点个数，分别是几个交点？你知道图象与轴的交点个数与什么有关吗？
二、探究新知
探索：画出函数的图象，根据图象回答下列问题。
（1）图象与轴、轴的交点坐标分别是什么？
（2）当取何值时，？这里的取值与方程有什么关系？
（3）取什么值时，函数值？取什么值时，函数值.
教学方法：利用数形结合的思想，引导学生观察分析，总结规律。
解析：因为轴上的点的纵坐标为，所以二次函数的图象与轴的交点即图象上纵坐标为的点，它的横坐标也就是方程的根，也就是说，当取或时，；这里的值就是方程的根；因为轴上的点横坐标为，这个函数图象与轴的交点，即时，求出的的值就是与交点的纵坐标.这个函数图象在轴上方的部分的点，它的纵坐标都为正，所以当或时，；同理，当时，.
答案：（1）图象与轴的交点坐标为（，）、（，），与轴的交点坐标为（，）．
（2）当或时，，的取值与方程的解相同。
（3）当或时，；当时，．
思考：通过上述图象，请你思考下列问题。
（1）二次函数的图象及性质与、、有什么关系？
（2）你能利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
教学方法：结合图形，学生合作交流，教师引导学生归纳总结。
§.归纳二次函数的性质：
1.决定抛物线的开口方向，当时，抛物线的开口向上，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，；当时，抛物线的开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，；
2.、共同决定抛物线的对称轴在轴的左侧还是右侧。当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧；
3.决定抛物线与轴的交点情况.当时，抛物线与轴交点在轴正半轴；当时，抛物线经过原点；当时，抛物线与轴交点在轴负半轴；
4.、、共同决定抛物线与轴的交点情况.当时，抛物线与轴有两个不同的交点，设一元二次方程（）的两个实数根为、，则抛物线（）与轴的两个交点、坐标分别为（，）、（，），利用
根与系数之间的关系得；当时，抛物线与轴有一个交点；当时，抛物线与轴没有交点；（抛物线与轴交点的横坐标就是的根）
5.一元二次不等式的解集可观察对应二次函数的图象得到：（）的解集实质就是抛物线（）在轴上方的部分对应的自变量取值范围，（）的解集实质就是抛物线（）在轴下方的部分对应的自变量取值范围。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、根据图象，在下列表格中填上“”、“”、“”.
（1）；（2）；（3）；（4）.
-1
x
y
图 1
1
解析：观察图象的开口方向，对称轴位置，图象与轴的交点情况，可以依次确定出、、及有关代数式值的符号。
解：如图可得：，，得：
由抛物线与轴有两个交点得：
再由，得：.
同步练习：二次函数的图象过原点，求的值？若抛物线的顶点在轴上，那么的值呢？
方法归纳：结合图象判断二次函数的解析式中待定系数及有关代数式的符号，通常须观察开口方向、对称轴的位置、与轴交点的个数以及与轴交点的大概位置等。
§.例2、已知函数，其中，，.试问：
（1）抛物线的对称轴在轴的左侧还是右侧；
（2）抛物线同轴有无交点？若有，请求出交点坐标；
（3）抛物线同轴的交点在轴上方还是下方。
解析：（1）由，，得：对称轴在轴的左侧；
（2）由得抛物线同轴有交点，交点坐标为（，）
（3）抛物线同轴的交点（，），由得抛物线同轴的交点在轴下方。
§.例3、若抛物线的图象经过二、三、四象限，且不过原点。
（1）顶点在第几象限？
（2）（，）在第几象限.
解析：（1）第二象限；（2）第一象限。
同步练习：抛物线过一、二、三象限，且不过原点。
（1）顶点在第几象限？
（2）点（，）在第几象限.
§.例4、二次函数.
（1）求证：无论为何值，它们的图象与轴一定有两个交点；
（2）取何值时，这两个交点恰在原点左右两侧；
（3）取何值时，它的对称轴是轴；
（4）为何值时，它的图象在轴截取的线段长是.
解析：（1）由得无论为何值，它们的图象与轴一定有两个交点。
（2）设抛物线与轴的两交点坐标为（，）、（，）
若交点在原点的两侧，则
得：，解得：
（3）若对称轴为轴，则，解得：.
（4）它的图象在轴截取的线段长是，则，解得.
同步练习：已知二次函数.
（1）试说明：不论取何值，这个二次函数的图象必与轴有两个交点；
（2）为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是轴；
（3）为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
§.例5、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。
x
O
y
图 2
2
3
1
2
解析：（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，结合图象可得；（2）不等式的解集实际上就是判断在自变量取什么值时函数值大于；（3）由二次函数的图象特征可判断；（4）观察抛物线与平行于轴的直线须有两个公共点可知的取值范围。
解：（1），；（2）；（3）；（4）.
变式训练：抛物线与交于点（，）.
（1）求出的值并画出这条抛物线；
（2）求它与轴的交点和抛物线的顶点坐标；
（3）取什么值时，抛物线在轴的上方；
（4）取什么值时，随的增大而减小.
归纳：抛物线与轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，轴上方的图象对应的自变量的范围就是不等式的解集；一元二次方程的解一般是观察抛物线与轴的交点，也可能观察抛物线与直线的交点；同一抛物线上纵坐标相等的点关于该抛物线的对称轴对称。
四、巩固练习
1、教材 练习
2、解答下列各题.
（1）已知抛物线与轴相交于两点，求的取值范围。
（2）已知二次函数的图象的最低点在轴上，求的值。
（3）已知抛物线与轴交于两点（，），（，），且，求的值。
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、会求二次函数与坐标轴的交点坐标。
2、经历探索二次函数的对称轴、顶点坐标、最值等情况的研究，掌握、、对于二次函数所起到的作用。
3、了解二次函数与一元二次方程、一元一次不等式之间的关系。
六、课外作业
1、教材 习题26.3
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