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物理必修 第二册第五章 抛体运动1 曲线运动优质学案
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这是一份物理必修 第二册第五章 抛体运动1 曲线运动优质学案，共19页。
曲线运动专题
抛体运动
重难点
题型
分值
重点
平抛运动的规律
选择
计算
6-10分
难点
应用平抛运动规律解决问题
平抛运动
1. 定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动。
2. 性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3. 基本规律：以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
（1）水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t。
（2）竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2。
（3）合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝。
（4）合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝。
4. 两个重要推论：
（1）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示。
（2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
5. 常见平抛运动的问题
（1）顺着斜面平抛（如图）
方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝
（2）对着斜面平抛（如图）
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
可求得t＝
斜抛运动
1. 斜抛运动的定义
将物体以速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2. 运动性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
3. 基本规律（以斜向上抛为例说明，如图所示）
（1）水平方向：v0x＝v0cosθ，F合x＝0。
（2）竖直方向：v0y＝v0sinθ，F合y＝mg。
如图所示，斜面倾角为θ，从斜面上的P点以v0的速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，当地的重力加速度为g，若小球落到斜面上，则此过程中（ ）
A. 小球飞行时间为
B. 小球的水平位移为
C. 小球下落的高度为
D. 小球刚要落到斜面上时的速度方向可能与斜面垂直
【答案】AB
【解析】由x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝三式得t＝，水平位移x＝，小球下落高度y＝gt2＝。小球落在斜面上，速度方向斜向右下方，不可能与斜面垂直。A、B正确。
如图所示，在联合军事演习中，离地面H高处的飞机以水平对地速度v1发射一颗炸弹轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度v2竖直向上发射一颗炮弹拦截（炮弹运动过程视为竖直上抛），设此时拦截系统与飞机的水平距离为x，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足（ ）
A. v1＝v2 B. v1＝v2
C. v1＝ v2 D. v1＝v2
【答案】C
【解析】炮弹拦截成功，即炮弹与炸弹同时运动到同一位置。设此位置距地面的高度为h，则x＝v1t，h＝v2t－gt2，H－h＝gt2，由以上各式联立解得v1＝v2，故C正确。
1. 平抛运动：分解成水平向的匀速直线运动和竖直向的自由落体运动
（1）水平方向：速度vx＝v0，位移x＝v0t。
（2）竖直方向：速度vy＝gt，位移y＝gt2。
2. 与斜面有关的平抛运动
（1）顺着斜面平抛：分解位移
（2）对着斜面平抛：分解速度
3. 斜抛运动（以竖直上抛为例）：分解成水平向的匀速直线运动和竖直向的竖直上抛运动
（1）水平方向：v0x＝v0cosθ
（2）竖直方向：v0y＝v0sinθ
（答题时间：30分钟）
1. 如图所示，从上海飞往北京的波音737客机上午10点10分到达首都国际机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前（ ）
A. 飞机的运动轨迹为曲线
B. 经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C. 在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D. 飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
2. 如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A。汽车匀速向右运动，在物块A到达滑轮之前，关于物块A，下列说法正确的是（ ）
A. 将竖直向上做匀速运动
B. 将处于超重状态
C. 将处于失重状态
D. 将竖直向上先加速后减速
3. 如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（ ）
A. B的加速度比A的大
B. B的飞行时间比A的长
C. B在最高点的速度比A在最高点的大
D. B在落地时的速度比A在落地时的大
4. 如图所示，先后从斜面顶端水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上（忽略空气阻力）（ ）
A. 两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶
B. 两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶2
C. 两次小球抛出时初速度之比∶＝1∶
D. 两次小球抛出时初速度之比∶＝1∶2
5. 小船匀速渡过一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸。求：
（1）水流的速度。
（2）船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。
6. 如图所示为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2。
（1）若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
（2）若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
1. 【答案】D
【解析】由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝－＝21 m，竖直位移y＝－＝2.1 m，C错误，飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，D正确。
2. 【答案】B
【解析】vA＝v车·cos θ，v车不变，θ减小，vA增大，由T－mAg＝ma知T>mAg，物块A处于超重状态，B对。
3. 【答案】CD
【解析】由题可知，A、B两小球均做斜抛运动，由运动的分解可知：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，两球的加速度均为重力加速度g，故A错；设上升的最大高度为h，在下落过程中，由h＝gt2，可知下落时间t＝，根据运动的对称性可知，两球上升时间和下落时间相等，故两小球的运动时间相等，故B错；由x＝vxt，可知vxA＜vxB；由vy2＝2gh，可知落地时，竖直方向的速度vyA＝vyB，再由v＝，可知B在落地时的速度比A 在落地时的大，所以正确选项为C、D。
4. 【答案】AC
【解析】平抛运动竖直方向为自由落体运动h＝gt2，由题意可知两次平抛的竖直位移之比为1∶2，所以运动时间之比为t1∶t2＝1∶，选项A对B错；水平方向做匀速直线运动，由题意知水平位移之比为1∶2，即t1∶t2＝1∶2，所以两次平抛初速度之比∶＝1∶，选项C对D错。
5. 【答案】（1）0.2 m/s （2）m/s 200 m 53°
【解析】（1）船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示：
由x＝v2t1得：v2＝＝m/s＝0.2 m/s
（2）由（1）可知d＝v1t1
船头保持与河岸成α角航行时，如图乙所示：
v2＝v1cos α
d＝v1t2sin α
解以上各式得：α＝53°，v1＝ m/s，d＝200 m。
6. 【答案】（1）m/s （2）0.6 s
【解析】（1）若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，则有
hsin 60°≤v0t
hcos 60°＝gt2
解得v0≥m/s。
（2）若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1
水平前进距离x＝v1t且x2＋y2＝h2
联立解得t＝0.6 s。
圆周运动
重难点
题型
分值
重点
圆周运动动力学分析
选择
计算
6-8分
难点
圆周运动中的临界问题
一、描述圆周运动的物理量
1. 线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量。
v＝。
2. 角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
ω＝。
3. 周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
T＝，T＝。
4. 向心力的公式：
5. 向心加速度的公式：
6. 相互关系：
v＝ωr＝r＝2πrf。
二、三种传动装置
1. 共轴传动：同一转轴的各点角速度ω相同。
2. 皮带传动：当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等。
3. 齿轮传动：齿轮边缘各点线速度大小相等。
竖直平面内的圆周运动
1. 拱形桥和凹形桥
凹形桥
FN－mg＝
概述
如图所示为凹形桥模型。
当汽车通过凹形桥的最低点时FN－mg＝m
规律
桥对车的支持力FN＝mg＋m>mg，汽车处于超重状态
拱形桥
mg－FN＝
概述
如图所示为拱形桥模型。
当汽车通过拱形桥的最高点时mg－FN＝m
规律
桥对车的支持力FN＝mg－m
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
（无支撑的情况）
（有支撑的情况）
安全过最高点的临界条件
在最高点物体受到弹力方向向下。当弹力为零时，仅由重力提供向心力，此时向心力最小，速度最小。
由mg＝，得临界速度v0＝
物体能运动即可，即v临＝0
对最高点的分析
①v＞时绳子或轨道对物体的弹力为F＝m－G，方向竖直向下
②v＝时绳子或轨道对物体的弹力为零
③v<时，物体将从轨道上掉下
v＝是物体在竖直面上过最高点（能完成完整的圆周运动）的最小速度
①v＞时，轻杆或管道对物体的弹力为FN＝m－G，方向竖直向下
②v＝时，轻杆或管道对物体的弹力为零
③v<时，轻杆或管道对物体的弹力为FN＝G－m，方向竖直向上
v＝是物体所受弹力的方向变化的临界速度
如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（ ）
A. A球的角速度等于B球的角速度
B. A球的线速度大于B球的线速度
C. A球的运动周期小于B球的运动周期
D. A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
【答案】B
【解析】先对小球受力分析，如图所示，
由图可知，两球的向心力都来源于重力mg和支持力FN的合力，建立如图所示的坐标系，则有：
FNsin θ＝mg ①
FNcos θ＝mrω2 ②
由①得FN＝，小球A和B受到的支持力FN相等，选项D错误。由于支持力FN相等，结合②式知，A球运动的半径大于B球运动的半径，A球的角速度小于B球的角速度，选项A错误。A球的运动周期大于B球的运动周期，选项C错误。又根据FNcos θ＝m可知：A球的线速度大于B球的线速度，选项B正确。
如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰，相碰点C与B点的水平距离是0.9 m。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2。则（ ）
A. 小球从B点平抛后经0.15 s与斜面相碰
B. 小球从B点平抛后经0.3 s与斜面相碰
C. 小球经过管道的B点时，受到管道的支持力大小是2 N
D. 小球经过管道的B点时，受到管道的压力大小是2 N
【答案】B
【解析】根据平抛运动的规律，B点与C点的水平距离为x＝vxt＝0.9 m，小球在C点的竖直速度vy＝gt，水平分速度vx＝vytan45°，联立可得t＝0.3 s，vx＝3 m/s，A项错误，B项正确；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有NB＋mg＝m，vB＝vx＝3 m/s，解得NB＝－1 N，负号表示管道对小球的作用力为支持力，C、D两项错误。
1. 描述圆周运动的物理量
线速度：v＝＝。
角速度：ω＝＝。
周期：T＝
向心力：
向心加速度：
相互关系：v＝ωr。
2. 三种传动装置
（1）共轴传动中两轮（或同一轮上两个点）角速度大小相等，即ωA＝ωB。
（2）皮带传动（不打滑）中两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
（3）齿轮传动：齿轮边缘的点线速度大小相等，即vA＝vB。
3. 绳模型和杆模型
（1）绳模型：最高点的临界速度是，此时物体只受重力作用。
（2）杆模型：最高点的临界速度是，此时物体受重力和竖直向上的支持力，且支持力等于重力。
（答题时间：30分钟）
1. 火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车（ ）
A. 运动路程为600 m
B. 加速度为零
C. 角速度约为1 rad/s
D. 转弯半径约为3.4 km
2. 2017年国际雪联单板滑雪U型池世锦赛决赛在西班牙内华达山收官，女子决赛中，中国选手蔡雪桐以90.75分高居第一成功卫冕。如图所示，单板滑雪U型场地可简化为固定在竖直面内的半圆形轨道场地，雪面不同曲面内各处动摩擦因数不同，因摩擦作用滑雪运动员从半圆形场地的坡顶下滑到坡的最低点过程中速率不变，则（ ）
A. 运动员下滑的过程中加速度时刻变化
B. 运动员下滑的过程所受合外力恒定不变
C. 运动员下滑过程中与雪面的动摩擦因数变小
D. 运动员滑到最低点时所受摩擦力的瞬时功率最小
3. 如图所示，在一个水平圆盘上有一个木块P随圆盘一起绕过O点的竖直轴匀速转动，下面说法中错误的是（ ）
A. 圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力的方向指向O点
B. 圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力为零
C. 在转速一定的条件下，P受到的静摩擦力的大小跟P到O点的距离成正比
D. 在P到O点的距离一定的条件下，P受到的静摩擦力的大小跟圆盘匀速转动的角速度平方成正比
4. 如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，则球B在最高点时（ ）
A. 球B的速度为零
B. 球A的速度大小为
C. 水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D. 水平转轴对杆的作用力为2.5mg
5. 如图所示，两个相同的小木块A和B（均可看作为质点），质量均为m。用长为L的轻绳连接，置于水平圆盘的同一半径上，A与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸直无弹力，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A. 木块A、B所受的摩擦力始终相等
B. 木块B所受摩擦力总等于木块A所受摩擦力的两倍
C. ω＝是绳子开始产生弹力的临界角速度
D. 若ω＝，则木块A、B将要相对圆盘发生滑动
6. 第24届冬奥会将于2022年2月4日在中国北京和张家口联合举行。如图为一简化后的跳台滑雪的雪道示意图。助滑坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC为R=10m的圆弧面，二者相切于B点，与水平面相切干C点，AC间的竖直高度差为h1=50m，CD为竖直跳台。运动员连同滑雪装备总质量为m=80kg，从A点由静止滑下，假设通过C点时雪道对运动员的支持力为F=80000N，水平飞出一段时间后落到着陆坡 DE的E点上。CE间水平方向的距离x=150m。不计空气阻力，取g=10m/s2。求：
（1）运动员到达C点速度v。的大小：
（2）CE间竖直高度差h2，
（3）运动员从A点滑到C点的过程中克服摩擦力做的功W。
1. 【答案】AD
【解析】火车的角速度ω＝＝rad/s＝rad/s，选项C错误；火车做匀速圆周运动，其受到的合外力等于向心力，加速度不为零，选项B错误；火车在10 s内运动的路程s＝vt＝600 m，选项A正确；火车转弯半径R＝＝m≈3.4 km，选项D正确。
2. 【答案】ACD
【解析】运动员在下滑过程中速率不变，做匀速圆周运动，加速度方向时刻在变，A正确；运动员受的合力大小不变，方向始终指向圆心，B错误；设支持力与竖直方向的夹角为θ，则FN－mgcosθ＝，f＝mgsinθ，在下滑过程中，因为角度变小，sinθ变小，cosθ变大，故f变小，FN变大，根据f＝μFN，可以知道，动摩擦因数减小，C正确；运动员滑到最低点时，速度沿水平方向，摩擦力f＝mgsinθ最小，则摩擦力的瞬时功率最小，D正确。
3. 【答案】B
【解析】圆盘在匀速转动的过程中，P靠静摩擦力提供向心力，方向指向O点，故A正确，B错误；在转速一定的条件下，角速度不变，根据Ff＝mω2r知，静摩擦力的大小跟P到O点的距离成正比，故C正确；在P到O点的距离一定的条件下，根据Ff＝mω2r知，静摩擦力的大小与圆盘转动的角速度平方成正比，故D正确。
4. 【答案】C
【解析】球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得v＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小v′＝，故B错误；球B到最高点时，对杆无弹力，此时球A受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，故C正确，D错误。
5. 【答案】D
【解析】当角速度较小时，AB均靠静摩擦力提供向心力，由于B转动的半径较大，则B先达到最大静摩擦力，角速度继续增大，则绳子出现拉力，当A的静摩擦力达到最大时，角速度增大，AB开始发生相对滑动，可知B的静摩擦力方向一直指向圆心，在绳子出现张力前，A、B的角速度相等，半径之比为1∶2，则静摩擦力之比为1∶2，当绳子出现张力后，A、B的静摩擦力之比不是1∶2，A、B两项错误；当摩擦力刚好提供B做圆周运动的向心力时，绳子开始产生拉力，则kmg＝mω2·2L，解得ω＝，C项错误；当A的摩擦力达到最大时，AB开始滑动，对A有：kmg－T＝mLω′2，对B有：T＋kmg＝m·2Lω′2，解得ω′＝，D项正确。
6. 【答案】（1）vc=30 m/s （2）h2=125m （3）W =4000J
【解析】（1）运动员到达C点， 由牛顿第二定律得
F－mg=m
vc=30 m/s
（2）CE过程运动员做平抛运动
x=vc t
h2=gt2
h2=125m
（3）AC过程，由动能定理得：
mgh1-W =m vc2
W =4000J
曲线运动专题
抛体运动
重难点
题型
分值
重点
平抛运动的规律
选择
计算
6-10分
难点
应用平抛运动规律解决问题
平抛运动
1. 定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动。
2. 性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3. 基本规律：以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
（1）水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t。
（2）竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2。
（3）合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝。
（4）合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝。
4. 两个重要推论：
（1）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示。
（2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
5. 常见平抛运动的问题
（1）顺着斜面平抛（如图）
方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝
（2）对着斜面平抛（如图）
方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
可求得t＝
斜抛运动
1. 斜抛运动的定义
将物体以速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2. 运动性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
3. 基本规律（以斜向上抛为例说明，如图所示）
（1）水平方向：v0x＝v0cosθ，F合x＝0。
（2）竖直方向：v0y＝v0sinθ，F合y＝mg。
如图所示，斜面倾角为θ，从斜面上的P点以v0的速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，当地的重力加速度为g，若小球落到斜面上，则此过程中（ ）
A. 小球飞行时间为
B. 小球的水平位移为
C. 小球下落的高度为
D. 小球刚要落到斜面上时的速度方向可能与斜面垂直
【答案】AB
【解析】由x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝三式得t＝，水平位移x＝，小球下落高度y＝gt2＝。小球落在斜面上，速度方向斜向右下方，不可能与斜面垂直。A、B正确。
如图所示，在联合军事演习中，离地面H高处的飞机以水平对地速度v1发射一颗炸弹轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度v2竖直向上发射一颗炮弹拦截（炮弹运动过程视为竖直上抛），设此时拦截系统与飞机的水平距离为x，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足（ ）
A. v1＝v2 B. v1＝v2
C. v1＝ v2 D. v1＝v2
【答案】C
【解析】炮弹拦截成功，即炮弹与炸弹同时运动到同一位置。设此位置距地面的高度为h，则x＝v1t，h＝v2t－gt2，H－h＝gt2，由以上各式联立解得v1＝v2，故C正确。
1. 平抛运动：分解成水平向的匀速直线运动和竖直向的自由落体运动
（1）水平方向：速度vx＝v0，位移x＝v0t。
（2）竖直方向：速度vy＝gt，位移y＝gt2。
2. 与斜面有关的平抛运动
（1）顺着斜面平抛：分解位移
（2）对着斜面平抛：分解速度
3. 斜抛运动（以竖直上抛为例）：分解成水平向的匀速直线运动和竖直向的竖直上抛运动
（1）水平方向：v0x＝v0cosθ
（2）竖直方向：v0y＝v0sinθ
（答题时间：30分钟）
1. 如图所示，从上海飞往北京的波音737客机上午10点10分到达首都国际机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前（ ）
A. 飞机的运动轨迹为曲线
B. 经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C. 在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D. 飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
2. 如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A。汽车匀速向右运动，在物块A到达滑轮之前，关于物块A，下列说法正确的是（ ）
A. 将竖直向上做匀速运动
B. 将处于超重状态
C. 将处于失重状态
D. 将竖直向上先加速后减速
3. 如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（ ）
A. B的加速度比A的大
B. B的飞行时间比A的长
C. B在最高点的速度比A在最高点的大
D. B在落地时的速度比A在落地时的大
4. 如图所示，先后从斜面顶端水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上（忽略空气阻力）（ ）
A. 两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶
B. 两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶2
C. 两次小球抛出时初速度之比∶＝1∶
D. 两次小球抛出时初速度之比∶＝1∶2
5. 小船匀速渡过一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸。求：
（1）水流的速度。
（2）船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。
6. 如图所示为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2。
（1）若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
（2）若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。
1. 【答案】D
【解析】由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝－＝21 m，竖直位移y＝－＝2.1 m，C错误，飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，D正确。
2. 【答案】B
【解析】vA＝v车·cos θ，v车不变，θ减小，vA增大，由T－mAg＝ma知T>mAg，物块A处于超重状态，B对。
3. 【答案】CD
【解析】由题可知，A、B两小球均做斜抛运动，由运动的分解可知：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，两球的加速度均为重力加速度g，故A错；设上升的最大高度为h，在下落过程中，由h＝gt2，可知下落时间t＝，根据运动的对称性可知，两球上升时间和下落时间相等，故两小球的运动时间相等，故B错；由x＝vxt，可知vxA＜vxB；由vy2＝2gh，可知落地时，竖直方向的速度vyA＝vyB，再由v＝，可知B在落地时的速度比A 在落地时的大，所以正确选项为C、D。
4. 【答案】AC
【解析】平抛运动竖直方向为自由落体运动h＝gt2，由题意可知两次平抛的竖直位移之比为1∶2，所以运动时间之比为t1∶t2＝1∶，选项A对B错；水平方向做匀速直线运动，由题意知水平位移之比为1∶2，即t1∶t2＝1∶2，所以两次平抛初速度之比∶＝1∶，选项C对D错。
5. 【答案】（1）0.2 m/s （2）m/s 200 m 53°
【解析】（1）船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示：
由x＝v2t1得：v2＝＝m/s＝0.2 m/s
（2）由（1）可知d＝v1t1
船头保持与河岸成α角航行时，如图乙所示：
v2＝v1cos α
d＝v1t2sin α
解以上各式得：α＝53°，v1＝ m/s，d＝200 m。
6. 【答案】（1）m/s （2）0.6 s
【解析】（1）若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，则有
hsin 60°≤v0t
hcos 60°＝gt2
解得v0≥m/s。
（2）若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1
水平前进距离x＝v1t且x2＋y2＝h2
联立解得t＝0.6 s。
圆周运动
重难点
题型
分值
重点
圆周运动动力学分析
选择
计算
6-8分
难点
圆周运动中的临界问题
一、描述圆周运动的物理量
1. 线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量。
v＝。
2. 角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
ω＝。
3. 周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
T＝，T＝。
4. 向心力的公式：
5. 向心加速度的公式：
6. 相互关系：
v＝ωr＝r＝2πrf。
二、三种传动装置
1. 共轴传动：同一转轴的各点角速度ω相同。
2. 皮带传动：当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等。
3. 齿轮传动：齿轮边缘各点线速度大小相等。
竖直平面内的圆周运动
1. 拱形桥和凹形桥
凹形桥
FN－mg＝
概述
如图所示为凹形桥模型。
当汽车通过凹形桥的最低点时FN－mg＝m
规律
桥对车的支持力FN＝mg＋m>mg，汽车处于超重状态
拱形桥
mg－FN＝
概述
如图所示为拱形桥模型。
当汽车通过拱形桥的最高点时mg－FN＝m
规律
桥对车的支持力FN＝mg－m
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
（无支撑的情况）
（有支撑的情况）
安全过最高点的临界条件
在最高点物体受到弹力方向向下。当弹力为零时，仅由重力提供向心力，此时向心力最小，速度最小。
由mg＝，得临界速度v0＝
物体能运动即可，即v临＝0
对最高点的分析
①v＞时绳子或轨道对物体的弹力为F＝m－G，方向竖直向下
②v＝时绳子或轨道对物体的弹力为零
③v<时，物体将从轨道上掉下
v＝是物体在竖直面上过最高点（能完成完整的圆周运动）的最小速度
①v＞时，轻杆或管道对物体的弹力为FN＝m－G，方向竖直向下
②v＝时，轻杆或管道对物体的弹力为零
③v<时，轻杆或管道对物体的弹力为FN＝G－m，方向竖直向上
v＝是物体所受弹力的方向变化的临界速度
如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（ ）
A. A球的角速度等于B球的角速度
B. A球的线速度大于B球的线速度
C. A球的运动周期小于B球的运动周期
D. A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
【答案】B
【解析】先对小球受力分析，如图所示，
由图可知，两球的向心力都来源于重力mg和支持力FN的合力，建立如图所示的坐标系，则有：
FNsin θ＝mg ①
FNcos θ＝mrω2 ②
由①得FN＝，小球A和B受到的支持力FN相等，选项D错误。由于支持力FN相等，结合②式知，A球运动的半径大于B球运动的半径，A球的角速度小于B球的角速度，选项A错误。A球的运动周期大于B球的运动周期，选项C错误。又根据FNcos θ＝m可知：A球的线速度大于B球的线速度，选项B正确。
如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰，相碰点C与B点的水平距离是0.9 m。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2。则（ ）
A. 小球从B点平抛后经0.15 s与斜面相碰
B. 小球从B点平抛后经0.3 s与斜面相碰
C. 小球经过管道的B点时，受到管道的支持力大小是2 N
D. 小球经过管道的B点时，受到管道的压力大小是2 N
【答案】B
【解析】根据平抛运动的规律，B点与C点的水平距离为x＝vxt＝0.9 m，小球在C点的竖直速度vy＝gt，水平分速度vx＝vytan45°，联立可得t＝0.3 s，vx＝3 m/s，A项错误，B项正确；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有NB＋mg＝m，vB＝vx＝3 m/s，解得NB＝－1 N，负号表示管道对小球的作用力为支持力，C、D两项错误。
1. 描述圆周运动的物理量
线速度：v＝＝。
角速度：ω＝＝。
周期：T＝
向心力：
向心加速度：
相互关系：v＝ωr。
2. 三种传动装置
（1）共轴传动中两轮（或同一轮上两个点）角速度大小相等，即ωA＝ωB。
（2）皮带传动（不打滑）中两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
（3）齿轮传动：齿轮边缘的点线速度大小相等，即vA＝vB。
3. 绳模型和杆模型
（1）绳模型：最高点的临界速度是，此时物体只受重力作用。
（2）杆模型：最高点的临界速度是，此时物体受重力和竖直向上的支持力，且支持力等于重力。
（答题时间：30分钟）
1. 火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°。在此10 s时间内，火车（ ）
A. 运动路程为600 m
B. 加速度为零
C. 角速度约为1 rad/s
D. 转弯半径约为3.4 km
2. 2017年国际雪联单板滑雪U型池世锦赛决赛在西班牙内华达山收官，女子决赛中，中国选手蔡雪桐以90.75分高居第一成功卫冕。如图所示，单板滑雪U型场地可简化为固定在竖直面内的半圆形轨道场地，雪面不同曲面内各处动摩擦因数不同，因摩擦作用滑雪运动员从半圆形场地的坡顶下滑到坡的最低点过程中速率不变，则（ ）
A. 运动员下滑的过程中加速度时刻变化
B. 运动员下滑的过程所受合外力恒定不变
C. 运动员下滑过程中与雪面的动摩擦因数变小
D. 运动员滑到最低点时所受摩擦力的瞬时功率最小
3. 如图所示，在一个水平圆盘上有一个木块P随圆盘一起绕过O点的竖直轴匀速转动，下面说法中错误的是（ ）
A. 圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力的方向指向O点
B. 圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力为零
C. 在转速一定的条件下，P受到的静摩擦力的大小跟P到O点的距离成正比
D. 在P到O点的距离一定的条件下，P受到的静摩擦力的大小跟圆盘匀速转动的角速度平方成正比
4. 如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，则球B在最高点时（ ）
A. 球B的速度为零
B. 球A的速度大小为
C. 水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D. 水平转轴对杆的作用力为2.5mg
5. 如图所示，两个相同的小木块A和B（均可看作为质点），质量均为m。用长为L的轻绳连接，置于水平圆盘的同一半径上，A与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸直无弹力，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A. 木块A、B所受的摩擦力始终相等
B. 木块B所受摩擦力总等于木块A所受摩擦力的两倍
C. ω＝是绳子开始产生弹力的临界角速度
D. 若ω＝，则木块A、B将要相对圆盘发生滑动
6. 第24届冬奥会将于2022年2月4日在中国北京和张家口联合举行。如图为一简化后的跳台滑雪的雪道示意图。助滑坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC为R=10m的圆弧面，二者相切于B点，与水平面相切干C点，AC间的竖直高度差为h1=50m，CD为竖直跳台。运动员连同滑雪装备总质量为m=80kg，从A点由静止滑下，假设通过C点时雪道对运动员的支持力为F=80000N，水平飞出一段时间后落到着陆坡 DE的E点上。CE间水平方向的距离x=150m。不计空气阻力，取g=10m/s2。求：
（1）运动员到达C点速度v。的大小：
（2）CE间竖直高度差h2，
（3）运动员从A点滑到C点的过程中克服摩擦力做的功W。
1. 【答案】AD
【解析】火车的角速度ω＝＝rad/s＝rad/s，选项C错误；火车做匀速圆周运动，其受到的合外力等于向心力，加速度不为零，选项B错误；火车在10 s内运动的路程s＝vt＝600 m，选项A正确；火车转弯半径R＝＝m≈3.4 km，选项D正确。
2. 【答案】ACD
【解析】运动员在下滑过程中速率不变，做匀速圆周运动，加速度方向时刻在变，A正确；运动员受的合力大小不变，方向始终指向圆心，B错误；设支持力与竖直方向的夹角为θ，则FN－mgcosθ＝，f＝mgsinθ，在下滑过程中，因为角度变小，sinθ变小，cosθ变大，故f变小，FN变大，根据f＝μFN，可以知道，动摩擦因数减小，C正确；运动员滑到最低点时，速度沿水平方向，摩擦力f＝mgsinθ最小，则摩擦力的瞬时功率最小，D正确。
3. 【答案】B
【解析】圆盘在匀速转动的过程中，P靠静摩擦力提供向心力，方向指向O点，故A正确，B错误；在转速一定的条件下，角速度不变，根据Ff＝mω2r知，静摩擦力的大小跟P到O点的距离成正比，故C正确；在P到O点的距离一定的条件下，根据Ff＝mω2r知，静摩擦力的大小与圆盘转动的角速度平方成正比，故D正确。
4. 【答案】C
【解析】球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得v＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小v′＝，故B错误；球B到最高点时，对杆无弹力，此时球A受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，故C正确，D错误。
5. 【答案】D
【解析】当角速度较小时，AB均靠静摩擦力提供向心力，由于B转动的半径较大，则B先达到最大静摩擦力，角速度继续增大，则绳子出现拉力，当A的静摩擦力达到最大时，角速度增大，AB开始发生相对滑动，可知B的静摩擦力方向一直指向圆心，在绳子出现张力前，A、B的角速度相等，半径之比为1∶2，则静摩擦力之比为1∶2，当绳子出现张力后，A、B的静摩擦力之比不是1∶2，A、B两项错误；当摩擦力刚好提供B做圆周运动的向心力时，绳子开始产生拉力，则kmg＝mω2·2L，解得ω＝，C项错误；当A的摩擦力达到最大时，AB开始滑动，对A有：kmg－T＝mLω′2，对B有：T＋kmg＝m·2Lω′2，解得ω′＝，D项正确。
6. 【答案】（1）vc=30 m/s （2）h2=125m （3）W =4000J
【解析】（1）运动员到达C点， 由牛顿第二定律得
F－mg=m
vc=30 m/s
（2）CE过程运动员做平抛运动
x=vc t
h2=gt2
h2=125m
（3）AC过程，由动能定理得：
mgh1-W =m vc2
W =4000J
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