初中数学第9章 多边形9.1 三角形1 认识三角形优秀第2课时学案设计

第9章 多边形

9.1 三角形

9.1.1 认识三角形

第2课时 三角形中的重要线段

学习目标：1．理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的稳定性．

2．会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线．

重点：三角形的高、中线与角平分线的特征．

难点：三角形的高、中线与角平分线的应用．

自主学习

一、知识链接

如图,按要求作图：

（1）在左图中，过点P作线段AB的垂线PD和AB的中点E．则有______=_______．

（2）在右图中，作出∠AOB的平分线OD，则有∠_____=∠______=____∠AOB．

二、新知预习

1．三角形的高：

（1）小学我们已经学过三角形的高，在图①中作出△ABC的高AD．

（2）自主归纳：

① 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作_____，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高；

② 一个三角形有_____条高， 请在图①中作出△ABC的另外两条高；

③ 三角形的高是一条 _____．

图①                       图②                      图③

 画图略。

2．三角形的中线：

（1）如图②，连结△ABC的顶点A和它的边BC的中点D，类比三角形高线的定义，则所得的线段AD应叫做△ABC的边BC上的_______．并画出△ABC的其他中线．

（2）自主归纳：

① 在三角形中，连结一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的___ __；

② 一个三角形有____条中线，每条中线都是一条______．

3．三角形的角平分线：

（1）如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?

（2）自主归纳

① 三角形角平分线定义：________________________________________________________________．

② 三角形的角平分线与角的平分线的区别是：____________________________________________________________________________________________________.

③ 一个三角形有____条角平分线．

4．用几何语言表示三角形的高、中线、角平分线：

三、自学自测

按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线．

        A             D                                G

                                               H

 B         C             E          F                     I

画中线AD，BE，CF      画高DG，EH，FM      画角平分线GM，HN，IP

四、我的疑惑

__________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要点探究

探究点1：三角形的高

做一做：请在下图中分别画出△ABC的高线．

【归纳总结】三角形的高或其延长线相交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的顶点上，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部．

典例精析

例1  如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值．

方法总结：面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解．

探究点2：三角形的中线

问题1：任意作一个三角形，画出它的三条中线，观察它们的交点，有什么结论？

问题2：如图，AD为△ABC的中线，猜想△ABD与△ACD的面积关系，并证明．

问题3：求△ABD与△ACD的周长之差，你有什么发现？

【归纳总结】①三角形的三条中线相交于一点；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③三角形的中线将三角形分成两个小三角形,它们的周长之差等于它们与大三角形的公共边的边长之差．

典例精析

例2  如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF-S△BEF的值．

方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．

探究点3：三角形的角平分线

例3  如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数．

二、课堂小结

三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段．

三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．一条中线把三角形分为面积相等的两个小三角形，它们的周长之差等于它们与大三角形的公共边的边长之差．

三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点与交点的线段．

当堂检测

1．画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（　 　）（建议作为第1题）

      A                  B                 C                 D

2．如图，△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　

A．2条         B．3条         C．4条         D．5条

3．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，有以下等式：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（　　）

A．①②   B．③④       C．①④      D．②③

第2题图                        第3题图                                                            

4．下列说法正确的是（　　）

A．三角形三条高都在三角形内

B．三角形三条中线相交于一点 

C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外

D．三角形的角平分线是射线

5．看图填空：

（1）∵BE是△ABC的角平分线，∴ ______ = ______= ______．

（2）∵CF是△ABC的角平分线，∴∠ACB= 2________= 2________

第5题图                              第6题图

6．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3 cm 2，则S△ABC= ______cm 2．

7．在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5 cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长．

                                        答案

自主学习

一、知识链接                

（1）作图略.   AE，BE              （2）作图略.  AOD，BOD，

   二、新知预习

（1）作图略. ① 垂线  ② 3   ③作图略.  垂线段

2  (1)  中线  (2)   ①  中线   ② 3   线段

3．三角形的角平分线：

(1)  作图略.

(2) 三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交,连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线

③ 3

4．AD，BC    ∠ADB，∠ADC，90°BE，      ∠2，      2   2

三、自学自测     解 图略.

合作探究

一、要点探究

探究点1：三角形的高      解：图略.

典例精析

例1 解：根据垂线段最短，当BP⊥AC时，BP的值最小.根据三角形的面积法可知：

×BC×AD＝×AC×BP，所以有×6×4=×5×BP，得BP=4.8.即BP的最小值是4.8.

探究点2：三角形的中线

问题1：三角形的三条中线相交于一点.

问题2解：面积相等。因为AD为△ABC的中线，所以有BD=CD.又因为△ABD与△ACD同底等高，所以△ABD与△ACD的面积相等.

问题3：解：因为△ABD的周长为AB+AD+BD,△ACD的周长为AD+CD+AC.因为BD=CD,所以△ABD与△ACD的周长之差为AB—AC.

典例精析

例2 解：∵点D是AC的中点，∴AD= AC，∵S△ABC =12，

∴S△ABD =S△ABC= ×12=6．∵EC=2BE，S△ABC=12，

∴S△ABE =S△ABC = ×12=4，∵S△ABD -S△ABE  =（S△ADF +S△ABF ）-（S△ABF +S△BEF ）=     S△ADF -S△BEF

即S△ADF-S△BEF=S△ABD -S△ABE=6- 4=2.

探究点3：三角形的角平分线

解：因为DE∥BC，所以∠AED=∠ACB=80°.又因为DC平分∠ACB，所以∠ACD=∠DCB.所以∠ECD=40°.

当堂检测

1. C   2.B   3.B   4.D    5．（1）∠ABE  ∠CBE   ∠ABC    （2）∠ACF   ∠BCF                     

6．12

7．解：因为△DBC的周长=DB+DC+BC,△ADC的周长为DA+AC+DC,所以△DBC的周长—△ADC的周长 为DB+DC+BC-（DA+AC+DC）.又因为CD是中线，所以AD=BD. 所以 △DBC的周长—△ADC的周长 = BC-AC=5 cm.所以 △ADC的周长= △DBC的周长-5cm=20cm.