2021届二轮复习 考点四平面向量 理 作业（全国通用） 练习

考点四　平面向量

一、选择题

1．(2020·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝(　　)

A．－ B．

C．－2 D．2

答案　C

解析　因为a＝(1,2)，b＝(－2,3)，所以a＋λb＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.

2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)

A． B．

C． D．

答案　A

解析　因为＝(3，－4)，所以与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝，故选A.

3．设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则实数k的值为(　　)

A．8 B．－8

C．4 D．－4

答案　B

解析　由a与b不能作为一组基底，则a与b必共线，故＝，即k＝－8.故选B.

4．(2020·湖南长沙一中一模)若非零向量a，b满足|a|＝2|b|＝4，(a－2b)·a＝0，则a在b方向上的投影为(　　)

A．4 B．8

C． D．

答案　A

解析　由(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0得a·b＝＝＝8，从而a在b方向上的投影为＝＝4，故选A.

5．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量＝(　　)

A．a＋b B．－a－b

C．－a＋b D．a－b

答案　C

解析　由△CEF∽△ABF，且E是CD的中点，得＝＝，则＝＝(＋)＝＝－a＋b，故选C.

6．(2020·辽宁朝阳四模)已知P为等边三角形ABC所在平面内的一个动点，满足＝λ(λ∈R)，若||＝2，则·(＋)＝(　　)

A．2 B．3

C．6 D．与λ有关的数值

答案　C

解析　设BC的中点为O，则||＝，因为＝λ(λ∈R)，所以点P在直线BC上，即在方向上的投影为||，所以·(＋)＝2·＝2||2＝6，故选C.

7．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)

A．∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)

C． D．

答案　A

解析　因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a，b不共线，即－2λ－1<0且－2＋λ≠0，故λ的取值范围是∪(2，＋∞)．

8．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．正三角形 D．等腰直角三角形

答案　A

解析　(－)·(＋－2)＝0，

即·(＋)＝0，

∵－＝，

∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，

∴△ABC是等腰三角形，故选A.

二、填空题

9．(2020·山东栖霞模拟)若向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共线，且(a＋b)⊥(a－b)，则a·b＝________.

答案　－3

解析　因为a＋b＝(0，x＋1)，a－b＝(4，x－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，所以0×4＋(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝1或x＝－1，因为向量a＝(2，x)，b＝(－2,1)不共线，所以x＝－1不成立，即x＝1，所以a·b＝2×(－2)＋1×1＝－3.

10．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，若a－b＝xe1＋ye2，则y＝________.

答案　－3

解析　由题图易得a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，则a－b＝(－e1－4e2)－(－2e1－e2)＝e1－3e2，所以x＝1，y＝－3.

11．(2020·四川棠湖中学适应性考试)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，若点P满足＋＋＝0，则||＝________.

答案　2

解析　因为＋＋＝0，所以P为△ABC的重心，故P的坐标为，即(2,2)，故||＝2.

12．(2020·山东德州二模)已知△ABC中，||＝2，·＝－2.点P为BC边上的动点，则·(＋＋)的最小值为________．

答案　－

解析　以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得B(－1,0)，C(1,0)，设P(a,0)，A(x，y)，由·＝－2，

可得(x＋1，y)·(2,0)＝2x＋2＝－2，即x＝－2，y≠0，则·(＋＋)＝(1－a，0)·(x－a－1－a＋1－a，y＋0＋0)＝(1－a)(x－3a)＝(1－a)(－2－3a)＝3a2－a－2＝32－，当a＝时，·(＋＋)的最小值为－.

三、解答题

13．已知＝a，＝b，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N.

(1)用a，b表示向量；

(2)设|a|＝1，|b|＝2，⊥，求a与b的夹角．

解　(1)由题意可得，AB是△SMN的中位线，

故有＝2＝2(－)＝2(b－a)．

(2)记a与b的夹角为θ，因为⊥，

所以·＝0，即2(b－a)·a＝0，则b·a－a2＝0，所以|b|·|a|·cosθ－|a|2＝0，又|a|＝1，|b|＝2，则2cosθ－1＝0，即cosθ＝，

而θ∈[0，π]，所以θ＝.

14．(2020·四川成都龙泉中学模拟)已知平面向量a＝(，－1)，b＝.

(1)证明：a⊥b；

(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．

解　(1)证明：∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.

(2)∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，

∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.

又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，

∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝(t≠0)．

一、选择题

1．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使＋＝0成立的是(　　)

A．a＝2b B．a∥b

C．a＝－b D．a⊥b

答案　C

解析　“＋＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，则答案为C.

2．(2020·乌鲁木齐第一次诊断)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)

A．－3 B．－2

C．2 D．3

答案　C

解析　∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，∴＝1，∴t＝3，∴＝(1,0)，

∴·＝2×1＋3×0＝2.故选C.

3．(2020·山东临沂、枣庄二模)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝(　　)

A．－2 B．－

C．－ D．

答案　A

解析　∵＝＋＝＋＝－＋＝－，∴λ＝1，μ＝－，∴＝－2，故选A.

4．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)

A． B．

C． D．

答案　C

解析　因为＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.

5．(2020·福建模拟)已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝，|b|＝1，则向量b与a－b的夹角为(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　因为|a＋b|＝|a－b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以a⊥b.如图，设＝a，＝b，则向量b与a－b的夹角为∠BDE，因为tan∠BDA＝，所以∠BDA＝，∠BDE＝.故选B.

6．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)

A． B．

C． D．

答案　D

解析　∵＝，∴＝5，

∵＝m＋，∴＝m＋，

∵P是BN上的一点，∴B，P，N三点共线，

∴m＋＝1，∴m＝，故选D.

7．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定经过△ABC的(　　)

A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心

答案　B

解析　－＝＝λ，因为＋所在直线与∠A的角平分线重合，则点P的轨迹是∠A的角平分线，一定经过△ABC的内心，故选B.

8．(2020·广东深圳适应性考试)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，＝，＝，若·＝12，则∠ADC＝(　　)

A． B．

C． D．

答案　C

解析　如图所示，平行四边形ABCD中，

＝＋＝－－，

＝＋＝－－，

因为·＝12，所以·＝·＝2＋2＋·＝×32＋×22＋×3×2×cos∠BAD＝12，

则cos∠BAD＝，即∠BAD＝，

所以∠ADC＝π－＝，故选C.

二、填空题

9．(2020·湖北四地七校联考)正三角形ABC的边长为1，则·＋·＋·＝________.

答案　－

解析　∵正三角形ABC的边长为1，∴·＋·＋·＝－(·＋·＋·)

＝－(1×1×cos60°×3)＝－.

10．(2020·安徽A10联盟4月联考)在四边形ABCD中，＝，＝(2,4)，＝(－3，－5)，则在上的投影为________．

答案　

解析　由＝得四边形ABCD是平行四边形，

且＝＋＝(2,4)＋(－3，－5)＝(－1，－1)，

则＝＋＝(2,4)＋(－1，－1)＝(1,3)，

∴在上的投影为||cos〈，〉＝＝＝.

11．(2020·唐山模拟)在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．

答案　

解析　因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cosA＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0<A<π，所以0<A≤，即角A的最大值为.

12．(2020·天津九校联考)在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AC＝4，若＝，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最小值是________．

答案　－1

解析　建立如图所示的直角坐标系，由题意可得，

A(2,0)，B(0,0)，C(0，2)，O，D(cosθ，2＋sinθ)，

即＝，

＝，

＝，

则＋＋＝，

|＋＋|＝

＝ ＝ ，

当sin(θ＋φ)＝－1时，|＋＋|取到最小值＝－1.

三、解答题

13．(2020·安徽涡阳一中第二次质检)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设＝3e1＋2e2.

(1)计算||的大小；

(2)设向量a＝(m，－1)，若a与共线，求实数m的值；

(3)是否存在实数n，使得向量与b＝(1，n)垂直？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

解　(1)e1·e2＝1×1×cos60°＝，

所以||＝|3e1＋2e2|＝

＝＝.

(2)因为a＝(m，－1)＝me1－e2，又a与＝3e1＋2e2共线，所以存在实数λ使得a＝λ，即me1－e2＝λ(3e1＋2e2)＝3λe1＋2λe2，由平面向量基本定理得解得m＝－.

(3)假设存在实数n，使得与向量b＝(1，n)垂直，

则·b＝0，即

(3e1＋2e2)·(e1＋ne2)＝3e＋(3n＋2)e1·e2＋2ne＝3|e1|2＋(3n＋2)e1·e2＋2n|e2|2＝3＋(3n＋2)×＋2n＝0，得n＝－，所以存在实数n＝－，使得向量与b＝(1，n)垂直．

14．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.

(1)若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求·；

(2)若AC＝AB，cos∠CAB＝，·＝，求||.

解　(1)因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，

所以∠DAB＝120°，又AD＝2AB，所以AD＝2BC，

因为E是CD的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.

又＝－，所以

·＝·(－)

＝2－2－·

＝×16－×4－×4×2×＝11.

(2)因为AB＝AC，AB＝2，所以AC＝2，

因为·＝，所以·(－)＝，

所以·－·＝.

又·＝||||cos∠CAB＝4×＝，

所以·＝＋·＝.

所以||2＝|－|2＝2＋2－2·＝4＋16－2×＝.

所以||＝.