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专训2.5 圆锥曲线(解析版) 试卷
展开专训2.5 圆锥曲线
1.(2020·全国高三专题练习)已知椭圆:()的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点的直线交椭圆于、两点,求(为原点)面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)由得①,
由椭圆经过点得②,
联立①②,解得,,
∴椭圆的方程是;
(2)由题意可知直线一定存在斜率,设其方程为,
联立消去得:,
则,得,
设、,则,,
∴,
∵,
设(),则,
当且仅当,即时等号成立,此时,可取,
此时面积取得最大值.
2.(2020·江苏镇江·高三期中)已知双曲线的焦距为,且过点,直线与曲线右支相切(切点不为右顶点),且分别交双曲线的两条渐近线与、两点,为坐标原点.
(1)求双曲线的方程;
(2)求证:面积为定值,并求出该定值.
【答案】(1);(2)证明见解析,面积为.
【解析】(1)设双曲线的焦距为,
由题意可得:,则双曲线的方程为;
(2)由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点),则直线的斜率存在,
设直线的方程为,
则消得,
,①
设与轴交于一点,,
,
双曲线两条渐近线方程为:,
联立,联立,
则(定值).
3.(2020·全国高三专题练习)已知椭圆M:的一个焦点为,左右顶点分别为A,B.经过点的直线l与椭圆M交于C,D两点.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)当直线l的倾斜角为时,求线段CD的长;
(Ⅲ)记△ABD与△ABC的面积分别为和,求的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)的最大值为.
【解析】(Ⅰ)因为椭圆的焦点为,所以且,所以,
所以椭圆方程为.
(Ⅱ)因为直线l的倾斜角为,所以斜率为1,直线的方程为,
联立,消去并整理得,
设,,
则,,
所以.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
设直线:,,,
联立,消去并整理得,
则,,所以异号,
所以
,当且仅当时,等号成立.
所以的最大值为.
4.(2020·全国高三专题练习)已知椭圆:()过点、两点.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)设为第三象限内一点且在椭圆上,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:四边形的面积为定值.
【解析】(1)由题意得,、,
∴椭圆的方程为,
∴,∴离心率;
(2)设,(,),则,又、,
∴直线的方程为,
令得,∴,
∴直线的方程为,
令得,∴,
∴四边形的面积
,
∴四边形的面积为定值.
5.(2020·广东广州·高三月考)已知椭圆:()的焦距为,过左顶点且斜率为的直线和以椭圆的右顶点为圆心,短半轴为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点作两条互相垂直的直线和,分别交椭圆于,两点,问轴上是否存在一定点,使得成立,若存在,则求出该定点,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,定点为.
【解析】(1)设右焦点,右顶点,
因为,所以,
因为椭圆的左顶点,
故直线方程为,即,
由题意知,,
解得,,
所以椭圆的方程为.
(2)由(1)可知右顶点,且过点的直线和的斜率存在且不为0,
设直线和的方程分别为和,设,,
联立,得,
因为直线和椭圆交于,两点,
所以,即,
即,,
同理.
设轴上存在一定点,使得成立,
则,即,即,
因为,
,
即,
解得.
因此轴上存在一定点,使得成立.
6.(2020·云南昆明·高三其他模拟)已知椭圆的离心率为,其左、右焦点分别为,,点是坐标平面内一点,且,(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A,B两点,在y轴上是否存在定点M,使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出M的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,理由见解析.
【解析】(1),,
又,,即,
则可得,又,,
故所求椭圆方程为;
(2)设直线,代入,有.
设,则,
若轴上存在定点满足题设,则,,
,
由题意知,对任意实数都有恒成立,
即对成立.
,解得,
在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.
7.(2020·全国高三其他模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为,,短轴长为2,椭圆的左顶点到的距离为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设直线与椭圆交于,两点,已知,若为定值,则直线是否经过定点?若经过定点,请求出定点坐标和定值;若不经过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)直线过定点,定点或,定值为.
【解析】(1)由已知可得即
故解得
故椭圆的标准方程为.
(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
由消元整理得,
所以,
设,,由根与系数的关系可得,
,.而,
,所以
由为定值,可得,即,
解得或,故直线的方程为或.
所以直线过定点或,此时定值为.
当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,
则不妨令,,
则,
又为定值,所以,直线的方程为,
此时直线过点,.此时,符合题意.
综上,若为定值,则直线过定点或,且定值为.
8.(2020·上海高三一模)已知双曲线:的焦距为,直线()与交于两个不同的点、,且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线的方程;
(2)若坐标原点在以线段为直径的圆的内部,求实数的取值范围;
(3)设、分别是的左、右两顶点,线段的垂直平分线交直线于点,交直线于点,求证:线段在轴上的射影长为定值.
【答案】(1);(2);(3)证明见解析
【解析】(1)当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形,由根据双曲线的性质得,,又焦距为,则,
解得,,则所求双曲线的方程为.
(2)设,,由,得,
则,,且,
又坐标原点在以线段为直径的圆内,则,即,
即,即,
则, 即,则或,
即实数的取值范围.
(3)线段在轴上的射影长是. 设,由(1)得点,
又点是线段的中点,则点,
直线的斜率为,直线的斜率为 ,又,
则直线的方程为,即,
又直线的方程为,联立方程,
消去化简整理,得,又,
代入消去,得,
即,则,
即点的横坐标为,
则. 故线段在轴上的射影长为定值.
9.(2020·广西高三一模)已知椭圆C.()与抛物线()共焦点,以椭圆的上下顶点M、N和左右焦点F1、F2所围成的四边形MF1NF2的面积为8,经过F2的直线交抛物线于A、B,交椭圆于C、D,且满足.
(1)求出椭圆和抛物线的标准方程;
(2)若点D在第三象限,且点A在点B上方,点C在点D上方,当△BF1D面积取得最大值S时,求的值.
【答案】(1);;(2)
【解析】(1)先作如下计算,
设过的直线的倾斜角为,设,由椭圆定义得,由余弦定理得,
整理可得,同理可求得,
,;
所以,;
过两点分别向轴作垂线、,、为垂足,
再设,可得,
点的横坐标为,点B横坐标为,
由抛物线定义知,,
所以,,,此时, ,
设椭圆的焦距为,所以,,易知,
又因为椭圆的上下顶点M、N和左右焦点F1、F2所围成的四边形MF1NF2的面积为8,得,得,又
由得,,得,
联立方程得,,解得,,
(2)
由(1)得,直线的倾斜角为,且,得,椭圆离心率,
则,得,
,又由(1)得
,设到的距离为,
则,
,根据的性质,
只有符合题意,根据导数的性质,
可知,在时,取得最大值,
,
10.(2020·广东高三零模)已知椭圆的短半轴长为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且点在第一象限,轴,垂足为,连接并延长交椭圆于点,证明:是直角三角形.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】(1)依题意可得,所以,
得,所以椭圆的方程是 .
(2)设,,则,,
直线的方程为,
与联立得 ,
因为,是方程的两个解,
所以
又因为,
所以,代入直线方程得
所以,即是直角三角形.