专训2.1 数列（解析版） 试卷

专训2.1  数列

1．（2020·吉林市第二中学高三期中）已知等差数列中，，，数列满足，.

（1）求数列通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）（）；（2）（）.

【解析】（1）设等差数列的公差为，由，，

所以，，

（）；

（2）由（1）得，

，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，

（）.

2．（2020·河南郑州·高三其他模拟）在递增的等差数列中，，是和的等比中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设公差为，

因为，是和的等比中项,

所以

解得

所以，

所以数列的通项公式为．

（2）由（1）知，

所以，

所以

．

3．（2020·山西高三期中）在数列中，已知，，，（）

（1）求数列，的通项公式；

（2）设数列满足，求的前项和．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）令，则，

，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，

∴；

（2）由（Ⅰ）知，，，则，

，

则，

两式相减得

，

．

4．（2020·贵州安顺·高三其他模拟（文））已知数列的前项和满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）∵，∴时，，

∴，∴，

又∵，∴，∴是以3为首项，3为公比的等比数列，∴；

（2）由（1）知，，所以，

∴①，

∴②，

由①②得：

5．（2020·天津经济技术开发区第一中学高三期中）已知数列的前项和为，且，数列满足：，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，为数列的前项和，求.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）数列的前项和，

当时，

当时，，，

两式相减得：

又时，满足上式

所以

又，所以，    

所以.

（2），由（1）知，，

所以

6．（2020·全国高三其他模拟）在①，且，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

已知是公差不为的等差数列，其前项和为，______．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）若选①，设数列的公差为．

由，可得，解得，；

若选②，当时，，

当时，，满足．

所以；

若选③，设数列的公差为．

，即，则，

又，所以，，所以；

（2）因为，

所以．

则，

上式下式得，

所以，因此，．

7．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知正项数列满足，其中为的前项和.

（1）求的通项公式；

（2）已知数列，求数列的前项和，并求出满足对恒成立时，实数的取值范围.

【答案】（1）；（2），.

【解析】（1）因为，所以

当时，，解得，

当时，，两式相减得，

整理得，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.

所以数列的通项公式为.

（2）因为，

所以，

当为奇数时，可得

，

故，此时单调递减，且.

同理当为偶数时，可得，此时单调递增，且.

所以

由题意满足对恒成立

则，解得

故实数的取值范围

8．（2020·山东烟台三中高二期中）已知函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列.

（1）试判断数列是否为等差数列，并说明理由；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）为等差数列.

令，所以，

所以在上的零点为，

所以，

因为

所以数列是首项为，公差为的等差数列.

（2）由（1）可得，

所以，

所以，

两式相减得

化简得

9．（2020·全国高三其他模拟）已知等比数列满足，，成等比数列，，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，则是否存在正整数使为，的等比中项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】（1）设等比数列的公比为，易知，.

由，，成等比数列得，即，则，故.

由，，成等差数列得，则，故或，

所以当时，；当时，.

（2）假设存在正整数，使，，成等比数列，则，

若，则，故，则，

此时不存在符合条件的正整数；

若，则，

即，，

因为无正整数解，所以，解得，即当公比时，存在唯一正整数，使为，的等比中项.

10．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知等差数列的前项和为，，，且，，成等比数列．

（1）求和；

（2）设，数列的前项和为，求证：．

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】（1）设等差数列的公差为，首项为，

由，得，

则所以

解得，，

所以 ，

．

（2）因为．

所以．

因为单调递增．所以，

综上，．