期末测试卷01（人教A版）（测试范围：必修1、必修2）（解析版）
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（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：必修1、必修2（人教A版）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则集合与集合的关系是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵，，故有，故选A。
2．已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由已知得三条直线必过同一个点，则联立解得这两条直线的交点为，
代入可得，故选A。
3．如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥，在梯形中易知，
∴，
则该几何体体积为，故选A。
4．若函数的定义域为，则实数的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】等价于恒成立，
若，则，不可取，
若，则需，，解得，
∴的范围为，故选D。
5．已知的图像如图所示，则下列式子中能作为的解析式是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】当时， ，
其图像恰好是上图，故选C。
6．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】入射光线和反射光线关于直线对称，设入射光线上任意两点、，
则关于直线对称的两个点的坐标分别为、且这两个点在反射光线上，
由两点式可求出反射光线所在的直线方程为，故选A。
7．设函数，，若实数、分别是、的零点，则下列不等式一定成立的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵、连续且都为单调增函数，
∴、各只有唯一一个零点，则：
，，则，
，，则，
∴，，选A。
8．已知函数，实数、、满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵，在定义域上是减函数，
∴时，，
又∵，
∴一种情况是、、都为负值①，
另一种情况是，，②，
在同一坐标系内画函数与的图象，
对于①要求、、都大于，对于②要求、都小于是，大于。
两种情况综合可得不可能成立，故选D。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若集合，，且，则实数的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】ABC
【解析】，，
当时，，，可取，
当时，，令，，可取，令，，可取，
综上、或，故选ABC。
10．已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】BC
【解析】的斜率，
当时，的斜率，∵，∴，
即，解得，
当时，、，直线为轴，，，直线为轴，显然，
∴实数的值为或，故选BC。
11．已知四面体是球的内接四面体，且是球的一条直径，，，则下面结论正确的是( )。
A、球的表面积为
B、上存在一点，使得
C、若为的中点，则
D、四面体体积的最大值为
【答案】ACD
【解析】∵是球的一条直径，∴，，∴，
球的半径为，球的表面积为，A正确，
∵与平面相交，上找不到一点，使得，B错误，
连接、，∵，为的中点，∴，C正确，
易知点到平面的距离的最大值为球的半径，
∴四面体体积的最大值为：，D正确，
故选ACD。
12．已知为定义在内的偶函数，对都有，当任意，且时，恒成立，则下列命题正确的是( )。
A、
B、直线是函数的图像的一条对称轴
C、函数在区间内为增函数
D、方程在区间内有四个实数根
【答案】BD
【解析】A选项，∵为上的偶函数，且对，均有，
∴令得：，∴，错，
B选项，∵，∴，∴是以为周期的偶函数，
∴，，∴，
∴图像关于对称，对，
C选项，∵当且时，恒成立，
∴在上为增函数，
又函数是偶函数，∴在上为减函数，
又函数是以为周期的函数，∴在上为减函数，错，
D选项，∵在上为减函数，在上为增函数，且，
∴方程在上有个实根(和)，
又函数是以为周期的函数，
∴方程在上有个实根()，
在区间上有一个实根()，
∴方程在上有个实根，对，
故选BD。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．定义集合运算，若，，则集合中的元素个数为 。
【答案】
【解析】∵，，
∴，
因此中的元素个数为。
14．设函数，则函数零点的个数是 。
【答案】
【解析】的零点相当于：
与的两图像的交点，
作图，有四个交点。
15．连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为，则该几何体的表面积为 ，该几何体的体积为 。(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】
【解析】这正八面体每个面是全等的正三角形，
，，
∵，，，
∴。
16．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是为 。
【答案】
【解析】圆：的圆心，半径为，
圆：的圆心，半径是，
要使最大，需最大，且最小，
最大值为，的最小值为，
故最大值是，
关于轴的对称点，
，
故的最大值为，故选D。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
若，且，()。
(1)求的最小值及对应的值；
(2)若且恒成立，求的取值范围。
【解析】(1)∵，∴，则，2分
∵，∴，，， 3分
∴，得，解得，∴， 5分
从而， 6分
∴当，即时有最小值； 7分
(2)由题意得，解得，∴，
∴的取值范围为。 10分
18．（本小题满分12分）
已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、。
(1)在中，求边中线所在直线方程；
(2)求平行四边形的顶点的坐标及边的长度；
(3)求的面积。
【解析】(1)设边中点为，则点坐标为， 1分
∴直线，∴直线的方程为：， 3分
即：，∴边中线所在直线的方程为：； 5分
(2)设点的坐标为，由已知得为线段的中点，
有，解得，∴， 7分
又∵、，则； 9分
(3)由、得直线的方程为：， 10分
∴到直线的距离，∴。 12分
19．（本小题满分12分）
已知圆的方程为。
(1)若圆与直线相交于、两点，且，(为坐标原点)，求的值；
(2)在(1)的条件下，求以为直径的圆的方程。
【解析】(1)由得，由可得， 2分
∴由题意联立得：， 4分
设、，根据韦达定理得，， 5分
∵，∴，又，
∴，∴，
∴，符合，可取； 7分
(2)设圆心为，则，， 9分
半径， 11分
∴圆的方程。 12分
20．（本小题满分12分）
在四棱锥中，平面，且底面为边长为的菱形，，。
(1)证明：平面平面；
(2)在图中作出点在平面内的正投影(说明作法及其理由)，并求四面体的体积。
【解析】(1)∵平面，平面，∴， 1分
在菱形中，，且，∴平面， 2分
又∵平面，∴平面平面； 4分
(2)取的中点，连接、，易得是等边三角形，
∴，又∵平面，∴， 5分
又，∴平面，
在平面中，过作于，则， 7分
又，∴平面，
则是点在平面内的正投影， 9分
经计算得，在中，，， 10分
，， 11分
∴。 12分
21．（本小题满分12分）
对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”。若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，。
(1)求证：；
(2)若(、)，且，求实数的取值范围。
【解析】(1)证明：若，则显然成立； 1分
若，设，则，，即，从而； 3分
(2)解：中元素是方程即的实根，
由，知或，即， 5分
中元素是方程 ，即的实根，
由，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为：
， 7分
若，则方程①要么没有实根，
要么实根是方程②的根， 8分
若①没有实根，则，由此解得， 9分
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有，代入①有，
由此解得，再代入②得，由此解得， 11分
故的取值范围是。 12分
22．（本小题满分12分）
如图，正方形与直角梯形所在平面相互垂直，，，。
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离。
【解析】(1)设，取中点，连接、，∵四边形是正方形，
∴是的中点，又是的中点，∴，， 2分
∵四边形是直角梯形，，，∴，
∴四边形是平行四边形，∴， 4分
又平面，平面，∴平面，即平面； 6分
(2) ∵，平面，平面，∴平面，
∵，平面平面，平面，
平面平面，
∴平面，∴， 8分
∵平面，平面，∴，，
∵，平面平面，平面，
平面平面，
∴平面，又平面，∴，
在中，，，，
在中，，，∴， 10分
设点到平面的距离为，
由得：，即，∴。 12分
