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精品解析：江苏省苏州市工业园区星海实验高级中学2023-2024学年高一上学期期末复习数学练习
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1. 已知，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式化简后即可求值．
【详解】＝-sin[]＝
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．
2. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.
【详解】令，则
令，则
则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.
作出和的图像，观察交点个数，
可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，
由题意列不等式的：
解得：.
故选：B
【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.
3. 设函数，函数，为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若的值域为，则
B. 若的值域为，则
C. 存在实数，且，使的值域为
D. 存在实数，且，使的值域为
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用赋值法和函数的性质的应用判定A、B、C、D的结论．
【详解】解：对于A：取k＝1，b＝c＝0，，，
所以，
所以的值域为[0，+∞）．不满足k，故A错误，同时该例也说明D正确．
对于B：取k，b＝c＝0，，
，的值域为[0，+∞），不满足k≥0，
对于C：显然的函数值不可能无限小，即不可能为（﹣∞，0]．
故选：D．
4. 已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出的解析式，画出函数图象，根据和有3个不同的交点可得出.
【详解】当时，，则，
当时，，则，
当时，，，
，
当时，，
单调递增，且，此时单调递增，
在单调递增，，
画出函数图象，
函数有3个不同的零点，等价于和有3个不同的交点，
则观察图象可得，.
故选：B.
【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，解题的关键是将其转化为和有3个不同的交点，数形结合求出.
二、填空题
5. 写出的取值集合__________．
【答案】
【解析】
详解】由
故的取值集合为
6. 已知，，则最小值为___________．
【答案】16
【解析】
【分析】令，，则可化为，从而用两次基本不等式即可.
【详解】由，可知，，
令，，
所以，
，
当且仅当“”时，两个等号同时成立．
则x=y=3时最小值为16.
故答案为：16．
7. 已知函数，的图像在区间上恰有三个最低点，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调递区间的应用求出结果．
【详解】解：，，
．
根据正弦型函数图象的特点知，轴左侧有1个或2个最低点．
①若函数图象在轴左侧仅有1个最低点，则，
解得，
，，此时在轴左侧至少有2个最低点．
函数图象在轴左侧仅有1个最低点不符合题意；
②若函数图象在轴左侧有2个最低点，则，解得，
又，则，
故，
时，在，恰有3个最低点．
综上所述，．
故答案为：．
三、多选题
8. 若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 有最小值2B. 有最小值4
C. 有最小值2D. 有最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】依题意，根据基本不等式可判断选项A、B；对于选项C，先平方，再由选项A可求出最小值；对于选项D，通分化简为可求最值.
【详解】依题意，，
由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
有最小值2，选项A正确；
，当且仅当时，等号成立，
有最小值2，选项B错误；
,
当且仅当时，等号成立，
所以有最小值为2，选项C正确；
，
如上式取最大值，须，且取最小值，
，
当且仅当时，等号成立，
所以有最大值，选项D正确.
故选：ACD
9. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，不等式解集为
B. 当时，不等式的解集可以为的形式
C. 不等式的解集恰好为，那么
D. 不等式的解集恰好为，那么
【答案】AD
【解析】
分析】A：由，利用判别式即可判断；
B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，利用图象即可判断；
C：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断；
D：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断；
【详解】解：对于A：由，可得，又，所以，从而不等式的解集为，故A正确；
对于B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，如图所示，设交点，
由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误；
对于C：由不等式的解集恰好为，可知，即，
所以和是方程的两根，从而有，解得或，
又由，解得或，不满足，不符合题意，故C错误；
对于D：当时，由，解得或，当时满足，此时，故D正确．
故选：AD．
10. 已知实数a，b，c满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据幂函数，对数函数，指数函数，正弦函数的性质判断．
【详解】∵
由在上是增函数知A正确；
由对数函数性质是减函数，为，∴，即，B错；
由是减函数得，C正确；
由于不一定在的单调增区间内，不能比较的大小，因此错误，D错；
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题时需对各个选项分别进行判断，需要掌握幂函数、指数函数、对数函数、正弦定理的性质．解题时，对数式中两个对数的底不相同，可考虑同底的对数同，因此利用换底公式及不等式的性质进行判断，正弦函数在整个定义域上不单调，它是周期函数，增区间是一个一个的，因此由不能轻易地得出．
11. 关于x的方程，给出下列四个命题，其中真命题的是（ ）
A. 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根
B. 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根
C. 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根
D. 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根
【答案】ABCD
【解析】
【分析】分别取、、、计算对应方程的解后可得正确的选项.
【详解】取，则即为，
故，解得，故A正确.
取，则即为，故，
解得，或，故B正确.
取，则即为，
故，或解得，或，或，故C正确.
取，则即为，
故或，解得，或，或，
或，故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查复合方程的解的个数的讨论，解题关键点是根据复合方程的性质将其转化为简单方程的解，本题属于较难题.
四、解答题
12. 定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性．
（1）判断下列函数是否具有有界性：①；②；③；
（2）已知函数定义域为，若为函数的上界，求的取值范围；
【答案】12. ①②具有有界性，③没有有界性
13.
【解析】
【分析】（1）（2）根据二次函数、指数函数、三角函数和对数型复合函数的性质即可解决.
【小问1详解】
对于①，当时，取得最大值1，所以，故有上界1；
对于②，所以有下界0；
对于③，所以没有上界也没有下界，故不具有有界性，
故①②具有有界性，③不具有有界性.
【小问2详解】
函数是由和复合而成，
在上单调递减，
而在上单调递增，所以在上单调递减，
故当时，有最大值，
所以，若为函数的上界，则.
13. 已知函数，，定义函数
（1）设函数，，求函数的值域；
（2）设函数（，为实常数），，当时，恒有，求实常数的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合函数图象和题目要求写出函数解析式，并求出值域.
（2）由当时，恒有可得: 当时，
，
即当时恒成立.
然后整理得到当时恒成立.
再根据单调性求最值，解决恒成立问题.
【小问1详解】
因为在单调递增，在单调递减，
且，所以，
因为时
时，所以函数的值域为
【小问2详解】
由当时，恒有可得: 当时，
，
即当时恒成立.
即当时恒成立.
即当时恒成立.
即当时恒成立.
即当时恒成立.
因为在单调递增，所以在时取得最大值，
因为在单调递减，所以在时取得最小值，
所以.
14. 已知函数，是偶函数.
（1）求值；
（2）若对于任意恒成立，求的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数使得的最小值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）由，化简可得，对任意恒成立，从而可得；
（2）对任意成立，即，求出的最小值即可得结果；
（3）化简得，令，则，，分类讨论，利用二次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果.
【详解】（1）函数，是偶函数则满足
所以
即
所以 解得
（2）由（1）可知，，对于任意恒成立
代入可得所以对于任意恒成立
令
因为所以由对数的图像与性质可得
所以
（3），，且
代入化简可得
令，因为，所以
则
当，即时，在上为增函数，
所以，解得，不合题意，舍去
当，即时，在上为减函数，在上为增函数，
所以，解得，所以
当，即时， 在上为减函数，
所以
解得不合题意，舍去，
综上可知，.
【点睛】方法点睛：本题主要考查利用奇偶性求函数解析式、考查指数函数、对数函数以及二次函数的性质，考查了转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
15. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” .
（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）是，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得；
【小问1详解】
由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数，
使得（其中），
即，
由，
故当时，，此时不存在使成立，
当时，，且在上单调递增，
故对于任意，都有唯一一个，使得，
综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得，
是的“重覆盖函数”，且；
【小问2详解】
由可得，故，
，
即，存在2个不同的实数，使得，其中，
由时，，故，即，
故，故对任意，，
，
即对任意，都有2个实根，
当时，，且在上递增，
故时，都有唯一确定的实根，
故当时，亦有且有一个实根，
当时，，且在上单调递减，符合题意，
当时， 为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。
当时，则需对称轴，且，
即，且，即，
综上，实数的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）若，解不等式;
（2）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围;
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论去绝对值后，解一元二次不等式可得结果；
（2）将化为分段函数后，根据对称轴与区间的位置关系列式可解得结果；
【小问1详解】
当时，，，
当时，，解得或，即，
当时，即，此不等式无解，
故不等式的解集为.
【小问2详解】
当时，的对称轴为：；
当时，的对称轴为：；
∴当时，在R上是增函数，
即时，函数在R上是增函数.
1. 已知，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式化简后即可求值．
【详解】＝-sin[]＝
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．
2. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.
【详解】令，则
令，则
则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.
作出和的图像，观察交点个数，
可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，
由题意列不等式的：
解得：.
故选：B
【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.
3. 设函数，函数，为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若的值域为，则
B. 若的值域为，则
C. 存在实数，且，使的值域为
D. 存在实数，且，使的值域为
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用赋值法和函数的性质的应用判定A、B、C、D的结论．
【详解】解：对于A：取k＝1，b＝c＝0，，，
所以，
所以的值域为[0，+∞）．不满足k，故A错误，同时该例也说明D正确．
对于B：取k，b＝c＝0，，
，的值域为[0，+∞），不满足k≥0，
对于C：显然的函数值不可能无限小，即不可能为（﹣∞，0]．
故选：D．
4. 已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出的解析式，画出函数图象，根据和有3个不同的交点可得出.
【详解】当时，，则，
当时，，则，
当时，，，
，
当时，，
单调递增，且，此时单调递增，
在单调递增，，
画出函数图象，
函数有3个不同的零点，等价于和有3个不同的交点，
则观察图象可得，.
故选：B.
【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，解题的关键是将其转化为和有3个不同的交点，数形结合求出.
二、填空题
5. 写出的取值集合__________．
【答案】
【解析】
详解】由
故的取值集合为
6. 已知，，则最小值为___________．
【答案】16
【解析】
【分析】令，，则可化为，从而用两次基本不等式即可.
【详解】由，可知，，
令，，
所以，
，
当且仅当“”时，两个等号同时成立．
则x=y=3时最小值为16.
故答案为：16．
7. 已知函数，的图像在区间上恰有三个最低点，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调递区间的应用求出结果．
【详解】解：，，
．
根据正弦型函数图象的特点知，轴左侧有1个或2个最低点．
①若函数图象在轴左侧仅有1个最低点，则，
解得，
，，此时在轴左侧至少有2个最低点．
函数图象在轴左侧仅有1个最低点不符合题意；
②若函数图象在轴左侧有2个最低点，则，解得，
又，则，
故，
时，在，恰有3个最低点．
综上所述，．
故答案为：．
三、多选题
8. 若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 有最小值2B. 有最小值4
C. 有最小值2D. 有最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】依题意，根据基本不等式可判断选项A、B；对于选项C，先平方，再由选项A可求出最小值；对于选项D，通分化简为可求最值.
【详解】依题意，，
由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
有最小值2，选项A正确；
，当且仅当时，等号成立，
有最小值2，选项B错误；
,
当且仅当时，等号成立，
所以有最小值为2，选项C正确；
，
如上式取最大值，须，且取最小值，
，
当且仅当时，等号成立，
所以有最大值，选项D正确.
故选：ACD
9. 已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，不等式解集为
B. 当时，不等式的解集可以为的形式
C. 不等式的解集恰好为，那么
D. 不等式的解集恰好为，那么
【答案】AD
【解析】
分析】A：由，利用判别式即可判断；
B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，利用图象即可判断；
C：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断；
D：根据不等式的解集求出的值，再判断是否小于等于1，即可判断；
【详解】解：对于A：由，可得，又，所以，从而不等式的解集为，故A正确；
对于B：在同一平面直角坐标系中，作函数以及和的图象，如图所示，设交点，
由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误；
对于C：由不等式的解集恰好为，可知，即，
所以和是方程的两根，从而有，解得或，
又由，解得或，不满足，不符合题意，故C错误；
对于D：当时，由，解得或，当时满足，此时，故D正确．
故选：AD．
10. 已知实数a，b，c满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据幂函数，对数函数，指数函数，正弦函数的性质判断．
【详解】∵
由在上是增函数知A正确；
由对数函数性质是减函数，为，∴，即，B错；
由是减函数得，C正确；
由于不一定在的单调增区间内，不能比较的大小，因此错误，D错；
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题时需对各个选项分别进行判断，需要掌握幂函数、指数函数、对数函数、正弦定理的性质．解题时，对数式中两个对数的底不相同，可考虑同底的对数同，因此利用换底公式及不等式的性质进行判断，正弦函数在整个定义域上不单调，它是周期函数，增区间是一个一个的，因此由不能轻易地得出．
11. 关于x的方程，给出下列四个命题，其中真命题的是（ ）
A. 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根
B. 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根
C. 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根
D. 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根
【答案】ABCD
【解析】
【分析】分别取、、、计算对应方程的解后可得正确的选项.
【详解】取，则即为，
故，解得，故A正确.
取，则即为，故，
解得，或，故B正确.
取，则即为，
故，或解得，或，或，故C正确.
取，则即为，
故或，解得，或，或，
或，故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查复合方程的解的个数的讨论，解题关键点是根据复合方程的性质将其转化为简单方程的解，本题属于较难题.
四、解答题
12. 定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性．
（1）判断下列函数是否具有有界性：①；②；③；
（2）已知函数定义域为，若为函数的上界，求的取值范围；
【答案】12. ①②具有有界性，③没有有界性
13.
【解析】
【分析】（1）（2）根据二次函数、指数函数、三角函数和对数型复合函数的性质即可解决.
【小问1详解】
对于①，当时，取得最大值1，所以，故有上界1；
对于②，所以有下界0；
对于③，所以没有上界也没有下界，故不具有有界性，
故①②具有有界性，③不具有有界性.
【小问2详解】
函数是由和复合而成，
在上单调递减，
而在上单调递增，所以在上单调递减，
故当时，有最大值，
所以，若为函数的上界，则.
13. 已知函数，，定义函数
（1）设函数，，求函数的值域；
（2）设函数（，为实常数），，当时，恒有，求实常数的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合函数图象和题目要求写出函数解析式，并求出值域.
（2）由当时，恒有可得: 当时，
，
即当时恒成立.
然后整理得到当时恒成立.
再根据单调性求最值，解决恒成立问题.
【小问1详解】
因为在单调递增，在单调递减，
且，所以，
因为时
时，所以函数的值域为
【小问2详解】
由当时，恒有可得: 当时，
，
即当时恒成立.
即当时恒成立.
即当时恒成立.
即当时恒成立.
即当时恒成立.
因为在单调递增，所以在时取得最大值，
因为在单调递减，所以在时取得最小值，
所以.
14. 已知函数，是偶函数.
（1）求值；
（2）若对于任意恒成立，求的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数使得的最小值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）由，化简可得，对任意恒成立，从而可得；
（2）对任意成立，即，求出的最小值即可得结果；
（3）化简得，令，则，，分类讨论，利用二次函数的单调性，分别求出最小值，令其为零，解方程即可的结果.
【详解】（1）函数，是偶函数则满足
所以
即
所以 解得
（2）由（1）可知，，对于任意恒成立
代入可得所以对于任意恒成立
令
因为所以由对数的图像与性质可得
所以
（3），，且
代入化简可得
令，因为，所以
则
当，即时，在上为增函数，
所以，解得，不合题意，舍去
当，即时，在上为减函数，在上为增函数，
所以，解得，所以
当，即时， 在上为减函数，
所以
解得不合题意，舍去，
综上可知，.
【点睛】方法点睛：本题主要考查利用奇偶性求函数解析式、考查指数函数、对数函数以及二次函数的性质，考查了转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
15. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” .
（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）是，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得；
【小问1详解】
由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数，
使得（其中），
即，
由，
故当时，，此时不存在使成立，
当时，，且在上单调递增，
故对于任意，都有唯一一个，使得，
综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得，
是的“重覆盖函数”，且；
【小问2详解】
由可得，故，
，
即，存在2个不同的实数，使得，其中，
由时，，故，即，
故，故对任意，，
，
即对任意，都有2个实根，
当时，，且在上递增，
故时，都有唯一确定的实根，
故当时，亦有且有一个实根，
当时，，且在上单调递减，符合题意，
当时， 为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。
当时，则需对称轴，且，
即，且，即，
综上，实数的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）若，解不等式;
（2）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围;
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论去绝对值后，解一元二次不等式可得结果；
（2）将化为分段函数后，根据对称轴与区间的位置关系列式可解得结果；
【小问1详解】
当时，，，
当时，，解得或，即，
当时，即，此不等式无解，
故不等式的解集为.
【小问2详解】
当时，的对称轴为：；
当时，的对称轴为：；
∴当时，在R上是增函数，
即时，函数在R上是增函数.
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