人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀导学案及答案，共13页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


【自主学习】


1．抛物线的几何性质


2.焦点弦


直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，故|AB|＝ .


3．直线与抛物线的位置关系


直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 ．


设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.


①k＝0时，直线与抛物线只有 交点；


②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线 ⇔有 公共点．


Δ＝0⇔直线与抛物线 ⇔只有 公共点．


Δ＜0⇔直线与抛物线 ⇔ 公共点．


【小试牛刀】


1．抛物线关于顶点对称．( )


2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )


3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )


4．抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．( )


5．抛物线y＝－eq \f(1,8)x2的准线方程为x＝eq \f(1,32)．( )


【经典例题】


题型一 抛物线性质的应用


把握三个要点确定抛物线的简单几何性质


(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．


(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．


(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.


例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2eq \r(3)，则抛物线的方程为________．


(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．














[跟踪训练]1 已知抛物线y2＝8x.


(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；


(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．














题型二 直线与抛物线的位置关系


直线与抛物线交点问题的解题思路


(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．


(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．


例2 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．














[跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.














题型三 中点弦及弦长公式


“中点弦”问题解题方法








例3 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，




















[跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．











题型四 抛物线的综合应用


例4 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．











[跟踪训练]4 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．


(1)求抛物线的方程及其准线方程；


(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．




















【当堂达标】


1．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )


A．(4eq \r(2)，±2) B．(±4eq \r(2)，2)


C．(±2,4eq \r(2))D．(2，±4eq \r(2))


2．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )


A．y2＝8x B．y2＝－8x


C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y


3．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq \r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,8)


4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))＝－4，则点A的坐标是( )


A．(2，±2eq \r(2))B．(1，±2)


C．(1,2)D．(2,2eq \r(2))


5．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )


A．4条 B．3条


C．2条 D．1条


6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.


7．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．


8．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积等于eq \r(10)时，求k的值．














9.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．


(1)若|AB|＝10，求实数m的值；


(2)若OA⊥OB，求实数m的值．

















10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．

















【参考答案】


【自主学习】


x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) x轴 y轴 (0,0) 1 x1＋x2＋p 相离 相切 相交


一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有


【小试牛刀】


× √ √ √ ×


【经典例题】


例1 (1)y2＝3x或y2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±eq \r(3)，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，eq \r(3))或(－1，eq \r(3))，设抛物线方程为


y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.]


(2)[解] 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，


设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，


由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，


∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝eq \f(4,3)，∵BD∥FG，∴eq \f(\f(4,3),p)＝eq \f(2,3)，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x.


[跟踪训练]1 解 (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.


(2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，


又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝eq \f(2,3)|OM|.


因为F(2,0)，所以|OM|＝eq \f(3,2)|OF|＝3，所以M(3,0)．


故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；所以m＝2eq \r(6)或m＝－2eq \r(6)，


所以A(3,2eq \r(6))，B(3，－2eq \r(6))，所以|OA|＝|OB|＝eq \r(33)，所以△OAB的周长为2eq \r(33)＋4eq \r(6).


例2 解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，(*)式只有一个解x＝eq \f(1,4)，∴y＝1，∴直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，此时直线l平行于x轴．


当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．


①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，


l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；


②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；


③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．


综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；


当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；


当k>1时，l与C没有公共点．


[跟踪训练]2 [证明] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝x－4，))消去y，得x2－12x＋16＝0.


∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，


∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.


∵eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴eq \(OA,\s\up8(→))⊥eq \(OB,\s\up8(→))，即OA⊥OB.


例3 解 由题意知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，


若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠eq \f(5,2)p，不满足题意．


所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，k≠0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))


消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝eq \f(2p,k)，y1y2＝－p2.


所以|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))·y1－y22)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))＝eq \f(5,2)p，


解得k＝±2.


所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.


[跟踪训练]3 [解] 法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有yeq \\al(2,1)＝8x1，yeq \\al(2,2)＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．


又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝4，∴kAB＝4.


∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.


法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝kx－4＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，


此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．


由根与系数的关系得y1＋y2＝eq \f(8,k).又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.


例4 解 方法一 设A(t，－t2)为抛物线上的点，


则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq \f(|4t－3t2－8|,5)＝eq \f(|3t2－4t＋8|,5)＝eq \f(1,5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(2,3)))2－\f(4,3)＋8))


＝eq \f(1,5)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(2,3)))2＋\f(20,3)))＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(2,3)))2＋eq \f(4,3).


所以当t＝eq \f(2,3)时，d有最小值eq \f(4,3).


方法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，





由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x2，,4x＋3y＋m＝0，))消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－eq \f(4,3).


故最小距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－8＋\f(4,3))),5)＝eq \f(\f(20,3),5)＝eq \f(4,3).


[跟踪训练]4 [解] (1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，


故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.


(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即eq \f(y1－2,x1－1)＝－eq \f(y2－2,x2－1).


又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝eq \f(y\\al(2,1),4)，x2＝eq \f(y\\al(2,2),4)，从而有eq \f(y1－2,\f(y\\al(2,1),4)－1)＝－eq \f(y2－2,\f(y\\al(2,2),4)－1)，即eq \f(4,y1＋2)＝－eq \f(4,y2＋2)，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝－1.


【当堂达标】


1.D [抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝16x，,x2＋y2＝x－42＋y2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝16x，,x＝2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝±4\r(2).))所以符合题意的点为(2，±4eq \r(2))．]


2. C解析 设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，


依题意得x＝eq \f(p,2)，代入y2＝2px或y2＝－2px得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.


∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.


3.A [线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).]


4.B [由题意知F(1,0)，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，则eq \(OA,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y\\al(2,0),4)，－y0))，由eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.]


5. B解析 当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；


当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.


6. 8解析 因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.


7.eq \f(15,8) [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝eq \f(1,4).


∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－eq \f(1,4)＝eq \f(15,4)，故AB的中点的纵坐标是eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(15,8).]


8.解 过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，


由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－y2，,y＝kx＋1，))消去x整理得ky2＋y－k＝0，Δ＝1＋4k2>0，


设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－eq \f(1,k)，y1·y2＝－1.


设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1,0)．


∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝eq \f(1,2)|ON||y1|＋eq \f(1,2)|ON||y2|＝eq \f(1,2)|ON||y1－y2|，


∴S△AOB＝eq \f(1,2)×1×eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \f(1,2)×eq \r(\f(1,k2)＋4)＝eq \r(10)，


解得k＝±eq \f(1,6).


9.解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,y2＝8x，))得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.


由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.


设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.


(1)因为|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(2)·eq \r(64－32m)＝10，所以m＝eq \f(7,16)，经检验符合题意．


(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去)．


所以m＝－8，经检验符合题意．


10.[解] 当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝x－eq \f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，


∴x1＋x2＝6－p.①


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))eq \s\up10(2)＝2px，即x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq \f(3,2).


∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.


当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.课程标准
学科素养
1.掌握抛物线的几何性质．(重点)


2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)


3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
1、直观想象


2、数学运算


3、逻辑推理
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线




范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
顶点
离心率
e＝