高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第一课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第一课时学案，共11页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，知识点四，例1-1，例1-2，例3-1，例3-2等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。


2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．


（预习教材P59~ P66，回答下列问题）


回忆：初中学习的函数概念是什么？


设在一个变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，则称是自变量，是的函数；其中自变量的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量的值对应的的值叫做函数的值域。


情景：请同学们考虑以下两个问题：


①是函数吗？


②和是同一个函数吗？


为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：


问题一：某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程（单位：km）与运行时间t(单位：h）的关系可以表示为．①


本题中，和是两个变量，


而且对于的每一个确定的值，


都有唯一确定的值与之对应，


所以是的函数．


























思考1：有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到后，运行1h就前进了．”你认为这个说法正确吗?














问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。显然，工人一周的工资（元）和他一周工作天数（天）的关系可表示为．②


本题中，和是两个变量，而且对于的每一个确定的值，


都有唯一确定的值与之对应，所以是的函数．




















思考2：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么?


问题三：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻的空气质量指数的值？





























思考3：本题中变量是变量的函数吗？





问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高．





思考4：本题中恩格尔系数是时间（年）的函数吗？请仿照前面的方法描述说明？








思考5：上述四个问题有何异同点：


不同点：





相同点：





【知识点一】函数的概念


1．函数的概念


一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(functin)，记作y＝f(x)，x∈A．


2．函数的定义域和值域


函数y＝f(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(dmain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．


显然，值域是集合B的子集．





自我检测1：下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )


A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方


B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方


C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数


D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积





【知识点二】区间的概念


1．区间的几何表示


2．实数集R的区间表示


实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；


“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．


3．无穷大的几何表示





自我检测2：试用区间表示下列实数集


(1) ____ _；


(2) _____ ___．








【知识点三】函数定义域的求法


(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：


①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负；③要求．


(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．


(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接．


自我检测3：函数的定义域是( )


A．[－1,1) B．[－1,1)∪(1，＋∞)


C．[－1，＋∞) D．(1，＋∞)





【知识点四】两函数为同一函数的判断方法


判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．


判断同一函数的三个步骤和两个注意点


(1)判断同一函数的三个步骤





(2)两个注意点：


①在观察定义域时，应观察所给函数的原型；


观察对应关系时，应观察等价化简后的函数形式；


②与用哪个字母表示无关．


自我检测4：下列函数中哪个与函数是同一个函数？


(1) ； (2) ；


(3) ； (4)





题型一 函数的定义


【例1-1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：


(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；


(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如右图所示；


(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；


(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1．














【例1-2】写出下列函数的对应法则、定义域、值域


题型二 集合的区间表示法


【例2】试用区间表示下列实数集


（1）


（2）


（3）


（4）


题型三 函数定义域的求法


【例3-1】已知函数．


（1）求函数的定义域；


（2）求，；


（3）当时，求，．











【例3-2】求下列函数的定义域．


①；


②．








题型四 两函数为同一函数的判断方法


【例4】试判断下列函数是否为同一函数．


(1) ，；


(2) ，；


(3) ，；


(4) ，．





1． 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )

















A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


2．函数的定义域为( )


A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)


C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)


3．下列各组函数表示同一函数的是( )


A．与y＝x＋3 B．与


C．与 D．与





4．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为( )


A．－2 B．－1


C．0 D．不确定


5．求下列函数的定义域：


(1；


(2) ；


(3) ．











【参考答案】


学后反思 巩固提高





情景：①是；②不是．





思考1：根据问题的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确、显然，其原因是没有关注到t的变化范圈．





思考2：问题1和问题2中的函数不是同一个函数，因为问题1中t的取值集合与问题2中d的取值集合不同．


思考3：变量是变量的函数．


思考4：





思考5：上述四个问题有何异同点：


不同点：


实例（1）（2）是用解析式刻画变量之间的对应关系，但有不同的取值范围；


实例（3）是用图象刻画变量之间的对应关系；


实例（4）是用表格刻画变量之间的对应关系．


相同点：


（1）都包含两个非空数集，用，来表示；


（2）都有一个对应关系；


（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集中的任意一个数，按照对应关系，在数集中部有唯一确定的数和它对应．


【自我检测1】





【自我检测2】答案：(1)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) (2)(－∞，1)∪(2,3]





【自我检测3】答案：B





【自我检测3】答案：（2）





【例1-1】答案：对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，


(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．


(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．


(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．


【例1-2】写出下列函数的对应法则、定义域、值域





【例2】试用区间表示下列实数集


（1）


（2）


（3）


（4）


【例3-1】已知函数．


（1）；


（2）；；


（3），．


【例3-2】


答案：①要使函数有意义，需满足


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2≥0，,x2－x－6≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－2，,x≠－2且x≠3，))


得x>－2且x≠3．


所以所求函数的定义域为(－2,3)∪(3，＋∞)．


②要使函数有意义，需满足


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,|x|＋x≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠1，,x>0，))


所以x>0且x≠1，


所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．


【例4】答案：





1． 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )

















A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


答案：B


2．函数的定义域为( )


A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)


C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)


答案：D


3．下列各组函数表示同一函数的是( )


A．与y＝x＋3 B．与


C．与 D．与


答案：C


4．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为( )


A．－2 B．－1


C．0 D．不确定


答案：B


5．求下列函数的定义域：


(1；


(2) ；


(3) ．


答案：(1) {x|x≠1且x≠2}．


(2) (－∞，－1)∪(－1,0)．


(3) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))∪(0,2)．定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
定义
符号
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
{x|x(－∞，b)
序号
是否相同
原因
(1)
不同
定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R
(2)
不同
对应关系不同，f(x)＝eq \f(1,\r(x))，g(x)＝eq \r(x)
(3)
不同
定义域相同，对应关系不同
(4)
相同
定义域和对应关系相同
图号
正误
原因
①
×
x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性
②
√
同时满足任意性与唯一性
③
×
x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性
④
×
x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性