2020_2021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ指数与指数函数理20201013159

指数与指数函数

1．分数指数幂

(1)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

2．指数函数的图象与性质

概念方法微思考

1.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.

2．结合指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0，a≠1)的解集是否与a的取值有关．

提示　当a>1时，ax>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，ax>1的解集为{x|x<0}．

1．（2015•四川）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是　　

A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时

【答案】C

【解析】为自然对数的底数，，为常数）．

当时，，

当时，

当时，

故选．

2．（2016•全国）若函数，且的最大值与最小值之和为3，则　　

A．9 B．7 C．6 D．5

【答案】B

【解析】函数且在，上单调，

当时，；当时，．则，

两边同时平方得：，．

故选．

1．（2020•雨花区校级模拟）设，则与最接近的整数为　　

A．18 B．20 C．24 D．25

【答案】D

【解析】

．

因为．

故与最接近的整数为25．

故选．

2．（2020•九江二模）已知，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于选项：由指数函数为减函数，且，所以，故选项错误；

对于选项：由幂函数在上为增函数，且，所以，故选项正确；

对于选项：由指数函数为减函数，且，所以，故选项错误；

对于选项：由幂函数在上为增函数，且，所以，故选项错误；

故选．

3．（2020•泉州一模）已知函数，，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数，

所以是定义域上的单调增函数，

又，

所以，

所以，即．

故选．

4．（2020•永州三模）已知，，，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，即，而，即，

，

故选．

5．（2020•临汾模拟）若，，，，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，

且是定义域上的单调增函数，

所以，即；

又，

所以，

即；

所以．

故选．

6．（2020•涪城区校级模拟）若，，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

，

又，，

，

故选．

7．（2020•市中区校级模拟）已知实数，满足，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由指数函数的单调性可得：，则：

，与的大小无法确定．

故选．

8．（2020•平谷区二模）如图，点为坐标原点，点，若函数及的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由图象可知，函数均为减函数，所以，，

因为点为坐标原点，点，

所以直线为，

因为经过点，则它的反函数也经过点，

又因为的图象经过点，

根据对数函数的图象和性质，

，

故选．

9．（2020•东城区模拟）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了　　

A．10天 B．15天 C．19天 D．2天

【答案】C

【解析】设荷叶覆盖水面的初始面积为，则天后荷叶覆盖水面的面积，

根据题意，令，解得，

故选．

10．（2020•广西二模）函数的图象为　　

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】由于函数是偶函数，图象关于轴对称，故排除、．

再由时，函数值，可得图象过点，故排除，

从而得到应选，

故选．

11．（2020•山东模拟）已知集合，，，则　　

A．， B． C． D．，

【答案】B

【解析】，，

故选．

12．（2019•镇海区校级模拟）若，则　　

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解析】若，，，故正确；

而当，时，检验可得，、、都不正确，

故选．

13．（2019•西湖区校级模拟）函数的图象过定点　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对于函数，令，求得，，

故函数的图象经过定点，

故选．

14．（2019•西湖区校级模拟）化简得　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为有意义，所以，

所以，

所以，

故选．

15．（2019•西湖区校级模拟）函数且的图象恒过定点　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意，由得，，

将代入得，，

所以函数且的图象恒过定点，

故选．

16．（2019•呼伦贝尔模拟）已知，则，不可能满足的关系是　　

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解析】，

，，

，，

，

（6），

，

则有，

，

，

，

，

，故错误

故选．

17．（2019•天津一模）已知函数，若，（2），，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，函数，则在上为减函数，

又由，

则；

故选．

18．（2019•宜宾模拟）若函数的图象恒过点，则　　

A．3 B．1 C． D．

【答案】C

【解析】函数的图象恒过点，，且，

解得，，，

故选．

19．（2019•山东模拟）若，则有　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解法一：取特殊值排除；

当，时，，成立，排除，．当，，成立，排除．

法二：构造函数利用单调性：令，则是增函数，

，

（a），

即．

故选．

20．（2019•西湖区校级模拟）函数的图象恒过定点　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，求得，，可得函数的图象恒过定点，

故选．

21．（2019•西湖区校级模拟）已知函数恒过定点，则函数不经过　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】恒过定点，

，

，

为减函数，且过点，

的函数图象不经过第三象限．

故选．

22．（2019•西湖区校级模拟）函数且的图象恒过的定点是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

当时，，

此时，

即函数过定点．

故选．

23．（2019•道里区校级一模）函数的图象恒过点，则下列函数中图象不经过点的是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的图象恒过点，

即，可得，

那么：．

恒过点．

把，带入各选项，

经考查各选项，只有没有经过点．

故选．

24．（2019•西湖区校级模拟）已知，则值为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

，

．

故选．

25．（2019•西湖区校级模拟）函数在，上最大值与最小值的和为3，则　　

A．2 B． C．4 D．

【答案】A

【解析】根据题意，由的单调性，

可知其在，上是单调函数，即当和1时，取得最值，

即，可得，

则，

即，

故选．

26．（2019•西湖区校级模拟）用分数指数幂的形式表示为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】有意义，可得，解得．

．

故选．

27．（2019•西湖区校级模拟）当且时，函数的图象一定经过点　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】且，

当，即时，，

函数且的图象过定点．

故选．

28．（2019•西湖区校级模拟）函数的图象必经过点　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由指数函数的图象恒过点

而要得到函数，的图象，

可将指数函数的图象向右平移两个单位，再向上平移两个单位．

则点平移后得到点

故选．

29．（2019•西湖区校级模拟）函数的值域为　　

A． B． C．， D．，

【答案】A

【解析】令

单调递减

即

故选．

30．（2019•西湖区校级模拟）设且，则　　

A． B． C．（2） D．（2）

【答案】C

【解析】当时，，

，

当时，，

，

综上所述：（2）

故选．

31．（2020•泸州模拟）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则__________．

【答案】3

【解析】因为函数的图象与的图象关于直线对称，且；

故在的图象上，

故有：；

故答案为：3．

32．（2020•江苏模拟）若函数且在定义域，上的值域是，，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】若函数，且的定义域，，

值域，，

即有，，

方程有两个不等实根，即有，

，有两个不等实根．

令，则的导数，

令，解得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

即有时取得最大值，

可得，解得，

即实数的取值范围．

33．（2020•黄冈模拟）已知，，则的值是__________．

【答案】

【解析】，，

，，

．

故答案为：．

34．（2020•龙凤区校级一模）函数，的图象恒过定点，则点坐标为__________．

【答案】

【解析】由于函数经过定点，令，可得，求得，

故函数，则它的图象恒过定点的坐标为，

故答案为

35．（2020•陇南模拟）函数的值域是__________．

【答案】

【解析】令，因为单调递增，

所以则，

函数的值域是

故答案为：．