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    2020_2021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ对数与对数函数理20201013151 试卷
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    2020_2021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ对数与对数函数理20201013151 试卷

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    对数与对数函数

    1.对数的概念

    一般地,如果axN(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

    2.对数的性质与运算法则

    (1)对数的运算法则

    如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:

    ①loga(MN)=logaM+logaN

    ②logalogaM-logaN

    ③logaMnnlogaM (nR).

    (2)对数的性质

    ①负数和零没有对数;

    ②loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1);

    N(a>0,a≠1,且N>0);

    ④logaaNN(a>0,且a≠1).

    (3)对数的换底公式

    logab(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0).

    3.对数函数的图象与性质

    y=logax

    a>1

    0<a<1

    图象

    定义域

    (1)(0,+∞)

    值域

    (2)R

    性质

    (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0

    (4)当x>1时,y>0

    当0<x<1时,y<0

    (5)当x>1时,y<0

    当0<x<1时,y>0

    (6)在(0,+∞)上是增函数

    (7)在(0,+∞)上是减函数

     

    4.反函数

    指数函数yax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线yx对称.

    概念方法微思考

    1.根据对数换底公式:①说出logab,logba的关系?

    ②化简.

    提示 ①logab·logba=1;②logab.

    2.如图给出4个对数函数的图象.比较abcd与1的大小关系.

    提示 0<c<d<1<a<b.

     

    1.(2020•新课标Ⅰ)若,则  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】因为

    因为

    ,由指对数函数的单调性可得内单调递增;

    a

    故选

    2.(2020•新课标Ⅰ)设,则  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】因为,则,则

    故选

    3.(2019•北京)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是,天狼星的星等是,则太阳与天狼星的亮度的比值为  

    A B10.1 C D

    【答案】A

    【解析】设太阳的星等是,天狼星的星等是

    由题意可得:

    ,则

    故选

    4.(2017•北京)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为,则下列各数中与最接近的是  

    (参考数据:

    A B C D

    【答案】D

    【解析】由题意:

    根据对数性质有:

    故选

    5.(2016•新课标Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是  

    A B C D

    【答案】D

    【解析】函数的定义域和值域均为

    函数的定义域和值域均为,不满足要求;

    函数的定义域为,值域为,不满足要求;

    函数的定义域为,值域为,不满足要求;

    函数的定义域和值域均为,满足要求;

    故选

    6.(2020•天津)设,则的大小关系为  

    A B C D

    【答案】D

    【解析】

    故选

    7.(2020•新课标Ⅲ)设,则  

    A B C D

    【答案】A

    【解析】

    故选

    8.(2020•新课标Ⅲ)已知.设,则  

    A B C D

    【答案】A

    【解析】

    综上,

    故选

    9.(2019•天津)已知,则的大小关系为  

    A B C D

    【答案】A

    【解析】由题意,可知:

    故选

    10.(2019•天津)已知,则的大小关系为  

    A B C D

    【答案】A

    【解析】由题意,可知:

    最大,都小于1

    故选

    11.(2019•新课标Ⅰ)已知,则  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    故选

    12.(2018•天津)已知,则的大小关系为  

    A B C D

    【答案】D

    【解析】,且

    故选

    13.(2018•天津)已知,则的大小关系为  

    A B C D

    【答案】D

    【解析】

    的大小关系

    故选

    14.(2018•新课标Ⅲ)设,则  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    故选

    15.(2016•浙江)已知,若,则____________________

    【答案】42

    【解析】设,由

    代入

    ,解得(舍去),

    所以,即

    因为,所以,则

    解得

    故答案为:42

    16.(2016•上海)若,则__________

    【答案】7

    【解析】,可得,解得

    故答案为:7

     

    1.(2020•Ⅱ卷模拟)设,则的大小关系是  

    A B C D

    【答案】C

    【解析】

    故选

    2.(2020•射洪市校级一模)已知,则  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】根据题意,得;

    ,且

    ,且

    故选

    3.(2020•镜湖区校级模拟)已知,则的大小关系是  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】,即

    ,即

    故选

    4.(2020•泸州四模)20世纪30年代,里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能力的等级,地震能力越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级.其计算公式为,其中是被测地震的最大振幅,是标准地震的振幅,5级地震已经给人的震感已比较明显,8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的  

    A30 B C100 D1000

    【答案】D

    【解析】由可得

    时,地震的最大振幅为

    时,地震的最大振幅为

    所以,两次地震的最大振幅之比是:

    8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.

    故选

    5.(2020•庐阳区校级模拟)已知为自然对数的底数,又,则  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】因为

    故选

    6.(2020•武昌区校级模拟)已知,则  

    A B C D

    【答案】A

    【解析】因为

    故选

    7.(2020•来宾模拟)已知,若,则的取值范围为  

    A B 

    C D

    【答案】B

    【解析】由题意可得,解得

    即函数的定义域为

    因为在区间上,函数单调递增,函数单调递增,

    所以函数在区间上单调递增,

    2,所以,即为2),

    所以

    解得

    故选

    8.(2020•丹东二模)已知地震释放出的能量与地震的里氏震级的关系为2011311日,日本北部海域发生的里氏9.0级地震释放出的能量设为2008512日,我国汶川发生的里氏8.0级地震释放出的能量设为,那么  

    A1.5 B C D

    【答案】C

    【解析】根据题意,

    ,即

    故选

    9.(2020•永康市模拟)设,则  

    A B C D

    【答案】D

    【解析】由

    比较4的大小即可;

    故选

    10.(2020•金安区校级模拟)已知函数,若,则有  

    Abac Babc 

    Cacb Dcab

    【答案】B

    【解析】上是增函数,且时,时,

    abc),

    abc).

    故选

    11.(2020•让胡路区校级三模)若函数与函数互为反函数,则  

    A9 B11 C16 D18

    【答案】D

    【解析】因为函数与函数互为反函数,

    所以

    所以

    故选

    12.(2020•海口模拟)《千字文》是我国传统的启蒙读物,相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字,让周兴嗣编纂而成的,全文为四字句,对仗工整,条理清晰,文采斐然.已知将1000个不同汉字任意排列,大约有种方法,设这个数为,则的整数部分为  

    A2566 B2567 C2568 D2569

    【答案】B

    【解析】由题可知,

    因为,所以

    所以的整数部分为2567

    故选

    13.(2020•香坊区校级三模)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数;1637年笛卡尔开始使用指数运算;1770年,欧拉发现了指数与对数的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数,称为历史上的珍闻.若,则的值约为  

    A1.322 B1.410 C1.507 D1.669

    【答案】A

    【解析】由

    所以

    的值约为1.322

    故选

    14.(2020•梅河口市校级模拟)设,若,则下列关系式中正确的是  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    故选

    15.(2020•平谷区二模)溶液酸碱度是通过计算的,的计算公式为,其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔升,若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔升,则胃酸的是(参考数据:  

    A1.398 B1.204 C1.602 D2.602

    【答案】C

    【解析】由 可得,

    故选

    16.(2020•枣庄模拟)已知,若,则  

    A B2 C D4

    【答案】B

    【解析】对两边取以为底的对数,得,即

    同理有:

    代入,得

    因为,所以

    所以

    故选

    17.(2020•濮阳一模)在一堆从实际生活得到的十进制数据中,一个数的首位数字是2的概率为,这被称为本福特定律.以此判断,一个数的首位数字是1的概率约为  

    A B C D

    【答案】D

    【解析】根据题意,时,概率为

    即一个数的首位数字是1的概率约为

    故选

    18.(2020•邯郸一模)  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    故选

    19.(2020•绵阳模拟)已知,则  

    A4 B6 C D9

    【答案】D

    【解析】

    故选

    20.(2019•西湖区校级模拟)函数的定义域是  

    A B C D

    【答案】C

    【解析】由题意得,,解得

    则函数的定义域是

    故选

    21.(2018•辽宁模拟)函数的定义域为  

    A B 

    C  D

    【答案】A

    【解析】由题意得:,解得:

    函数的定义域是:

    故选

    22.(2020•怀柔区一模)函数的图象是  

    A B 

    C D

    【答案】D

    【解析】

    则函数的定义域为:,即函数图象只出现在轴右侧;

    值域为:即函数图象只出现在轴上方;

    在区间上递减的曲线,在区间上递增的曲线.

    分析四个答案,只有满足要求

    故选

    23.(2019•运城模拟)已知函数满足a,则实数的取值范围是  

    A B C D

    【答案】A

    【解析】根据题意可得,

    上单调递减,在上单调递增;

    根据题意可知,

    ①当时,a

    ,解得

    ②当时,a不符合题意(舍

    ③当时,a

    ,解得

    综上,的取值范围为

    故选

    24.(2020•柯桥区二模)1617世纪之交,苏格兰数学家纳皮尔发现了对数,对数的发明是数学史上的重大事件,伽利略说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙”.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.若,则____________________

    【答案】1

    【解析】

    指数式化为对数式得:

    故答案为:1

    25.(2020•徐州模拟)函数的定义域是__________

    【答案】

    【解析】要使函数有意义,则需满足

    解之得,

    函数的定义域是

    故答案是

    26.(2019•西湖区校级模拟)函数的定义域是__________

    【答案】

    【解析】由,解得:

    函数的定义域是

    故答案为:

    27.(2020•辽宁二模)已知函数的图象恒过定点,且点在函数的图象上,则__________

    【答案】2

    【解析】令得:,此时2

    函数的图象恒过定点,即

    在函数的图象上,

    故答案为:2

    28.(2020•麒麟区校级二模)函数恒过点__________

    【答案】

    【解析】令得,6

    此时

    所以函数过定点

    故答案为:

    29.(2020•中卫三模)已知函数,则不等式的解集为__________

    【答案】

    【解析】当时,由得:,解得:

    时,由得:

    综上所述,不等式的解集为

    故答案为:

    30.(2020•阳泉一模)若函数的图象过定点,则__________

    【答案】2

    【解析】令,可得,且,故函数的图象过定点

    再由函数的图象过定点,可得

    故答案为 2

    31.(2020•九江三模)如图所示,正方形的四个顶点在函数的图象上,则__________

    【答案】2

    【解析】设

    ,即

    为正方形,

    可得

    解得

    故答案为:2

    32.(2018•江苏模拟)函数,若对任意,如果,则的值为__________

    【答案】1009

    【解析】函数,若对任意,如果

    可得,可得

    故答案为:1009

    33.(2020•临汾模拟)已知函数

    1)当时,求函数的最小值;

    2)当函数的定义域为时,求实数的取值范围.

    【解析】函数的定义域满足,即

    1)当时,

    ,则.(3分)

    .(5分)

    2)由知,的最小值为47

    的取值范围是.(10分)

    34.(2019•西湖区校级模拟)已知

    1)求的定义域.

    2)证明为奇函数.

    3)求使成立的的取值范围.

    【解析】(1的定义域为:

    解得的定义域为

    2

    为奇函数.

    3

    ,得

    时,有,解得

    时,有,解得

    时,使成立的的取值范围是

    时,使成立的的取值范围是

    35.(2019•西湖区校级模拟)设函数,且

    (Ⅰ)求3)的值;

    (Ⅱ)令,将表示成以为自变量的函数;并由此,求函数的最大值与最小值及与之对应的的值.

    【解析】(Ⅰ)函数,且

    3

    (Ⅱ)令,则,且

    故当时,函数取得最小值为,此时求得

    时,函数取得最大值为12,此时求得

    36.(2019•西湖区校级模拟)已知函数

    1)若,求函数的定义域.

    2)若函数的值域为,求实数的取值范围.

    3)若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.

    【解析】(1)若,则

    要使函数有意义,需,解得

    ,函数的定义域为

    2)若函数的值域为,则能取遍一切正实数,

    ,即

    若函数的值域为,实数的取值范围为

    3)若函数在区间上是增函数,

    在区间上是减函数且在区间上恒成立,

    ,且

    37.(2019•西湖区校级模拟)计算.

    1

    2

    【解析】(1

    2

    38.(2019•上海模拟)已知函数

    1)若函数的反函数是其本身,求的值;

    2)当时,求函数的最小值.

    【解析】(1)由题意知函数的反函数是其本身,所以的反函数

    反函数为,所以

    2)当时,

    故最小值为

    39.(2019•西湖区校级模拟)已知函数

    1)求函数的定义域;

    2)判断函数的奇偶性,并说明理由.

    【解析】(1)依题意有,解得

    所以函数的定义域是

    2)由(1)知定义域关于原点对称,

    函数为偶函数.

    40.(2019•西湖区校级模拟)计算:

    【解析】原式

     

     

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