2020_2021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ对数与对数函数理20201013151 试卷
展开对数与对数函数
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM (n∈R).
(2)对数的性质
①负数和零没有对数;
②loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1);
③=N(a>0,a≠1,且N>0);
④logaaN=N(a>0,且a≠1).
(3)对数的换底公式
logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0).
3.对数函数的图象与性质
y=logax | a>1 | 0<a<1 |
图象 | ||
定义域 | (1)(0,+∞) | |
值域 | (2)R | |
性质 | (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0 | |
(4)当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 | (5)当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 | |
(6)在(0,+∞)上是增函数 | (7)在(0,+∞)上是减函数 |
4.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
概念方法微思考
1.根据对数换底公式:①说出logab,logba的关系?
②化简.
提示 ①logab·logba=1;②=logab.
2.如图给出4个对数函数的图象.比较a,b,c,d与1的大小关系.
提示 0<c<d<1<a<b.
1.(2020•新课标Ⅰ)若,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为;
因为即;
令,由指对数函数的单调性可得在内单调递增;
且(a);
故选.
2.(2020•新课标Ⅰ)设,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,则,则
则,
故选.
3.(2019•北京)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是,天狼星的星等是,则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. B.10.1 C. D.
【答案】A
【解析】设太阳的星等是,天狼星的星等是,
由题意可得:,
,则.
故选.
4.(2017•北京)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为,则下列各数中与最接近的是
(参考数据:
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意:,,
根据对数性质有:,
,
,
故选.
5.(2016•新课标Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域和值域均为,
函数的定义域和值域均为,不满足要求;
函数的定义域为,值域为,不满足要求;
函数的定义域为,值域为,不满足要求;
函数的定义域和值域均为,满足要求;
故选.
6.(2020•天津)设,,,则,,的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,,
则,
,
,
故选.
7.(2020•新课标Ⅲ)设,,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,
,
,
.
故选.
8.(2020•新课标Ⅲ)已知,.设,,,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,;
,,,;
,,,,
综上,.
故选.
9.(2019•天津)已知,,,则,,的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,可知:
,
,
,
.
故选.
10.(2019•天津)已知,,,则,,的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,可知:
,
.
,
最大,、都小于1.
,.
而,
.
,
.
故选.
11.(2019•新课标Ⅰ)已知,,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,
,
,
,
,
故选.
12.(2018•天津)已知,,,则,,的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,,,且,
,
则,
.
故选.
13.(2018•天津)已知,,,则,,的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,,,
则,,的大小关系,
故选.
14.(2018•新课标Ⅲ)设,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,,
,
,
,,
.
故选.
15.(2016•浙江)已知,若,,则__________,__________.
【答案】4;2
【解析】设,由知,
代入得,
即,解得或(舍去),
所以,即,
因为,所以,则,
解得,,
故答案为:4;2.
16.(2016•上海)若,则__________.
【答案】7
【解析】,可得,解得.
故答案为:7.
1.(2020•Ⅱ卷模拟)设,,,则、、的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,
,
,
则;
故选.
2.(2020•射洪市校级一模)已知,,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意,得;
;
,且,
;
,且,
;
.
故选.
3.(2020•镜湖区校级模拟)已知,则,,的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,,即,
,,即,
,,
,
故选.
4.(2020•泸州四模)20世纪30年代,里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能力的等级,地震能力越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级.其计算公式为,其中是被测地震的最大振幅,是标准地震的振幅,5级地震已经给人的震感已比较明显,8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的
A.30倍 B.倍 C.100倍 D.1000倍
【答案】D
【解析】由可得,
即,.
当时,地震的最大振幅为;
当时,地震的最大振幅为;
所以,两次地震的最大振幅之比是:;
即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.
故选.
5.(2020•庐阳区校级模拟)已知为自然对数的底数,又,,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,,,
则.
故选.
6.(2020•武昌区校级模拟)已知,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,,,
则.
故选.
7.(2020•来宾模拟)已知,若,则的取值范围为
A.,, B.
C. D.,,
【答案】B
【解析】由题意可得,解得,
即函数的定义域为,
因为在区间上,函数单调递增,函数单调递增,
所以函数在区间上单调递增,
又(2),所以,即为(2),
所以,
解得或.
故选.
8.(2020•丹东二模)已知地震释放出的能量与地震的里氏震级的关系为,2011年3月11日,日本北部海域发生的里氏9.0级地震释放出的能量设为,2008年5月12日,我国汶川发生的里氏8.0级地震释放出的能量设为,那么
A.1.5 B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意,,,
,
,即.
故选.
9.(2020•永康市模拟)设,,,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由,,
.
由,
比较与4的大小即可;
;
,
即
故选.
10.(2020•金安区校级模拟)已知函数,若,,,则有
A.(b)(a)(c) B.(a)(b)(c)
C.(a)(c)(b) D.(c)(a)(b)
【答案】B
【解析】在上是增函数,且时,,时,,
,,,,,,
(a)(b)(c),
(a)(b)(c).
故选.
11.(2020•让胡路区校级三模)若函数与函数互为反函数,则
A.9 B.11 C.16 D.18
【答案】D
【解析】因为函数与函数互为反函数,
所以,
所以,
故选.
12.(2020•海口模拟)《千字文》是我国传统的启蒙读物,相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字,让周兴嗣编纂而成的,全文为四字句,对仗工整,条理清晰,文采斐然.已知将1000个不同汉字任意排列,大约有种方法,设这个数为,则的整数部分为
A.2566 B.2567 C.2568 D.2569
【答案】B
【解析】由题可知,.
因为,所以,
所以的整数部分为2567.
故选.
13.(2020•香坊区校级三模)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数;1637年笛卡尔开始使用指数运算;1770年,欧拉发现了指数与对数的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数,称为历史上的珍闻.若,,则的值约为
A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669
【答案】A
【解析】由,,
所以;
即的值约为1.322.
故选.
14.(2020•梅河口市校级模拟)设,,若,,,则下列关系式中正确的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,
,,
,
,
,,
故选.
15.(2020•平谷区二模)溶液酸碱度是通过计算的,的计算公式为,其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔升,若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔升,则胃酸的是(参考数据:
A.1.398 B.1.204 C.1.602 D.2.602
【答案】C
【解析】由 可得,.
故选.
16.(2020•枣庄模拟)已知,若,,则
A. B.2 C. D.4
【答案】B
【解析】对两边取以为底的对数,得,即,
同理有:,
代入,得,
因为,所以,
所以,,
故选.
17.(2020•濮阳一模)在一堆从实际生活得到的十进制数据中,一个数的首位数字是,2,,的概率为,这被称为本福特定律.以此判断,一个数的首位数字是1的概率约为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意,时,概率为,
即一个数的首位数字是1的概率约为.
故选.
18.(2020•邯郸一模)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,
故选.
19.(2020•绵阳模拟)已知,则
A.4 B.6 C. D.9
【答案】D
【解析】,,
,
故选.
20.(2019•西湖区校级模拟)函数的定义域是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得,,解得,
则函数的定义域是,
故选.
21.(2018•辽宁模拟)函数的定义域为
A.或 B.
C. D.或
【答案】A
【解析】由题意得:,解得:或,
函数的定义域是:或,
故选.
22.(2020•怀柔区一模)函数的图象是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
则函数的定义域为:,即函数图象只出现在轴右侧;
值域为:即函数图象只出现在轴上方;
在区间上递减的曲线,在区间上递增的曲线.
分析、、、四个答案,只有满足要求
故选.
23.(2019•运城模拟)已知函数满足(a),则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可得,
,在上单调递减,在上单调递增;
根据题意可知,;
①当,时,(a)
,解得;
;
②当时,(a)不符合题意(舍;
③当,时,(a)
,解得;
综上,的取值范围为.
故选.
24.(2020•柯桥区二模)16、17世纪之交,苏格兰数学家纳皮尔发现了对数,对数的发明是数学史上的重大事件,伽利略说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙”.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.若,则__________,__________.
【答案】,1
【解析】,
指数式化为对数式得:,,
,
故答案为:,1.
25.(2020•徐州模拟)函数的定义域是__________.
【答案】,,
【解析】要使函数有意义,则需满足
解之得,且,
函数的定义域是,,.
故答案是,,.
26.(2019•西湖区校级模拟)函数的定义域是__________.
【答案】,
【解析】由,解得:.
函数的定义域是,.
故答案为:,.
27.(2020•辽宁二模)已知函数且的图象恒过定点,且点在函数的图象上,则__________.
【答案】2
【解析】令得:,此时(2),
函数且的图象恒过定点,即,
又点在函数的图象上,
,
,
故答案为:2.
28.(2020•麒麟区校级二模)函数恒过点__________.
【答案】或
【解析】令得,或6,
此时,
所以函数过定点或,
故答案为:或.
29.(2020•中卫三模)已知函数,则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】当时,由得:,解得:,
;
当时,由得:,
,
综上所述,不等式的解集为,
故答案为:.
30.(2020•阳泉一模)若函数且的图象过定点,则__________.
【答案】2
【解析】令,可得,且,故函数且的图象过定点,
再由函数且的图象过定点,可得、,
故,
故答案为 2.
31.(2020•九江三模)如图所示,正方形的四个顶点在函数,,的图象上,则__________.
【答案】2
【解析】设,,,,,,,,
则,,
又,,即,,
为正方形,;
可得,
解得.
故答案为:2.
32.(2018•江苏模拟)函数,若对任意,,如果,则的值为__________.
【答案】1009
【解析】函数,若对任意,,如果,
可得,可得,
则.
故答案为:1009.
33.(2020•临汾模拟)已知函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)当函数的定义域为时,求实数的取值范围.
【解析】函数的定义域满足,即,
(1)当时,
设,则.(3分)
,.(5分)
(2)由知,的最小值为4,7分,
的取值范围是.(10分)
34.(2019•西湖区校级模拟)已知,.
(1)求的定义域.
(2)证明为奇函数.
(3)求使成立的的取值范围.
【解析】(1),的定义域为:,
解得,的定义域为.
(2),,
,
为奇函数.
(3),,
由,得,
当时,有,解得;
当时,有,解得;
当时,使成立的的取值范围是,
当时,使成立的的取值范围是.
35.(2019•西湖区校级模拟)设函数,且.
(Ⅰ)求(3)的值;
(Ⅱ)令,将表示成以为自变量的函数;并由此,求函数的最大值与最小值及与之对应的的值.
【解析】(Ⅰ)函数,且,
故(3).
(Ⅱ)令,则,且,
令,
故当时,函数取得最小值为,此时求得;
当时,函数取得最大值为12,此时求得.
36.(2019•西湖区校级模拟)已知函数.
(1)若,求函数的定义域.
(2)若函数的值域为,求实数的取值范围.
(3)若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
【解析】(1)若,则
要使函数有意义,需,解得
若,函数的定义域为.
(2)若函数的值域为,则能取遍一切正实数,
△,即,,
若函数的值域为,实数的取值范围为,,
(3)若函数在区间上是增函数,
则在区间上是减函数且在区间上恒成立,
,且
即且
37.(2019•西湖区校级模拟)计算.
(1);
(2).
【解析】(1),
(2).
38.(2019•上海模拟)已知函数.
(1)若函数的反函数是其本身,求的值;
(2)当时,求函数的最小值.
【解析】(1)由题意知函数的反函数是其本身,所以的反函数,,
反函数为,所以.
(2)当时,,,
则,
故最小值为.
39.(2019•西湖区校级模拟)已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并说明理由.
【解析】(1)依题意有,解得,
所以函数的定义域是.
(2)由(1)知定义域关于原点对称,
,
,
函数为偶函数.
40.(2019•西湖区校级模拟)计算:.
【解析】原式
.