2020_2021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ幂函数与二次函数理20201013158 试卷
展开幂函数与二次函数
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 | y＝x | y＝x2 | y＝x3 | y＝ | y＝x－1 | |
图象 | ||||||
性质 | 定义域 | R | R | R | {x|x≥0} | {x|x≠0} |
值域 | R | {y|y≥0} | R | {y|y≥0} | {y|y≠0} | |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 非奇非偶函数 | 奇函数 | |
单调性 | 在R上单调递增 | 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 | 在R上单调递增 | 在[0，＋∞)上单调递增 | 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 | |
公共点 | (1,1) | |||||
2.二次函数的图象和性质
解析式 | f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0) | f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0) |
图象 | ||
定义域 | R | R |
值域 | ||
单调性 | 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 | 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 |
对称性 | 函数的图象关于直线x＝－对称 | |
概念方法微思考
1．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件．
提示 a>0且Δ≤0.
3．函数y＝2x2是幂函数吗？
提示 不是．
1．（2016•新课标Ⅲ）已知，，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
，
综上可得：，
故选．
2．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
加油时间 | 加油量（升 | 加油时的累计里程（千米） |
2015年5月1日 | 12 | 35000 |
2015年5月15日 | 48 | 35600 |
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
【答案】B
【解析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量；
故选．
3．（2017•浙江）若函数在区间，上的最大值是，最小值是，则
A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关
【答案】B
【解析】函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，
①当或，即，或时，
函数在区间，上单调，
此时（1），
故的值与有关，与无关
②当，即时，
函数在区间，上递减，在，上递增，
且（1），
此时，
故的值与有关，与无关
③当，即时，
函数在区间，上递减，在，上递增，
且（1），
此时（1），
故的值与有关，与无关
综上可得：的值与有关，与无关
故选．
4．（2017•上海）函数的单调递增区间是
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】函数的对称轴是，开口向上，
故在，递增，
故选．
5．（2016•新课标Ⅱ）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，，，，则
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】函数满足，
故函数的图象关于直线对称，
函数的图象也关于直线对称，
故函数与 图象的交点也关于直线对称，
故，
故选．
6．（2018•上海）已知，，，1，2，，若幂函数为奇函数，且在上递减，则__________．
【答案】
【解析】，，，1，2，，
幂函数为奇函数，且在上递减，
是奇数，且，
．
故答案为：．
7．（2019•上海）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为__________．
【答案】
【解析】由题意得：点坐标为，，点坐标为，
，
当且仅当时，取最小值，
故答案为：．
8．（2016•上海）函数在区间，上的最小值为0，最大值为1，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，对称轴，
（1），（2），，
在区间，上的最大值为1，最小值为0，
，，
故答案为：．
1．（2020•重庆模拟）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】点在幂函数的图象上，
，，
幂函数，在上单调递减，
又，
，即，
故选．
2．（2020•三明模拟）已知幂函数在上单调递增，函数，对于任意，时，总存在，使得，则的取值范围是
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【解析】幂函数在上单调递增，
，解得，
，
当，时，，，设集合，，
又当，时，，，设集合，，
由题意得：，
，解得：，
故选．
3．（2020•武昌区模拟）已知点在幂函数的图象上，设，，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由幂函数的定义可知，，，
点在幂函数上，
，，
幂函数解析式为，在上单调递增，
，，，
，
，
故选．
4．（2020•金安区校级模拟）已知幂函数是定义在区间，上的奇函数，设，，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据幂函数是定义在区间，上的奇函数，
得，且，解得；
，且在定义域上是单调增函数；
又，
，
，
即．
故选．
5．（2020•B卷模拟）已知幂函数的图象经过点，则（2）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【解析】设，因为幂函数图象过，
则有，，即，
（2）
故选．
6．（2020•江门模拟）若函数是幂函数，且满足，则的值为
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】设为常数），
满足，，．
．
则．
故选．
7．（2020•福田区校级模拟）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】函数是幂函数，
，解得，
；
令，解得，
函数的图象经过定点，
，解得．
故选．
8．（2013秋•鹰潭期末）对于幂函数，若，则，大小关系是
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【解析】幂函数在上是增函数，图象是上凸的，
当时，应有．
故选．
9．（2018•保定一模）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（1）
A．0 B．2018 C．4036 D．4037
【答案】D
【解析】函数既是二次函数又是幂函数，，为偶函数；
函数是上的奇函数，
为定义域上的奇函数；
函数，
，
（1）
（1）
．
故选．
10．（2019•大武口区校级三模）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由点在幂函数的图象上，得，即．
，单调递增，
又，，
．
故选．
11．（2019•陕西二模）已知点在幂函数图象上，设，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】点在幂函数图象上，
（2），解得，，
，
，
，
，，的大小关系为．
故选．
12．（2019•陕西二模）已知点在幂函数图象上，设，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】点在幂函数图象上，
（2），解得，，
设，
，
，
，
，，的大小关系是．
故选．
13．（2019•西湖区校级模拟）若幂函数在上为增函数，则实数
A．4 B． C．2 D．或4
【答案】A
【解析】幂函数在上为增函数，
所以，并且，
解得．
故选．
14．（2019•西城区模拟）函数在区间上，的最大值是
A． B． C．4 D．
【答案】C
【解析】函数在第一象限是减函数，
函数在区间，上的最大值是．
故选．
15．（2019•西湖区校级模拟）幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是
A． B．， C．， D．
【答案】C
【解析】幂函数的图象过点，
所以，即，所以幂函数为
它的单调递增区间是：，
故选．
16．（2017•长沙一模）已知函数，则
A．，使得
B．，，
C．，，，使得
D．，，，使得
【答案】B
【解析】由函数，知：
在中，恒成立，故错误；
在中，，，故正确；
在中，，，，使得，故错误；
在中，当时，不存在，使得，故不成立．
故选．
17．（2019•西湖区校级模拟）若，则实数的取值范围是
A．， B．， C． D．，
【答案】D
【解析】考察幂函数，它在，上是增函数，
，
，
解得，，．
故选．
18．（2020•海南模拟）已知函数在上单调递增，则的取值范围为
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】函数的对称轴为，
函数在区间上单调递增，
，解得，
故选．
19．（2019•西湖区校级模拟）若函数在区间，上是减函数，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，抛物线开口向上，对称轴，
若在区间，上是减函数，则，即，
故选．
20．（2019•西湖区校级模拟）二次函数的部分对应值如表：
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||
6 | 0 | 0 | 6 |
则不等式的解集是
A．，， B．，，
C． D．
【答案】B
【解析】由表格中的数据可得，，
又（3），且在对称轴左边为减函数，右边为增函数，
不等式的解集是，，．
故选．
21．（2019•西湖区校级模拟）设函数，，其中，若对任意的，，至少有一个为非负值，则实数的最大值是
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】，
，
根据二次函数的图象与性质可知，若对任意的，，和至少有一个为非负值，
只需两个函数图象交点处的函数值大于等于0即可，
由，可得，
所以，
解得，
所以时取得最大值为2．
故选．
22．（2020•静安区二模）若幂函数的图象经过点，则的值为__________．
【答案】
【解析】设幂函数为：
幂函数的图象经过点，，
；
；
；
则的值为：．
故答案为：．
23．（2020•吉林模拟）是幂函数图象上的点，将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点，，且在的图象上，则__________．
【答案】30
【解析】由，解得．
．
可得：，
点，，且在的图象上，
．
，．
抛物线的焦点，，准线方程为．
根据抛物线的性质可得：，
则．
故答案为：30．
24．（2020•攀枝花模拟）已知幂函数的图象经过点，则__________．
【答案】
【解析】函数为幂函数，则；
又函数的图象经过点，则，解得；
所以．
故答案为：．
25．（2020•郑州二模）幂函数的图象关于轴对称，则实数__________．
【答案】2
【解析】函数是幂函数，
，
解得或；
当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；
当时，函数的图象关于轴对称；
实数．
故答案为：2．
26．（2019•西湖区校级模拟）如果幂函数的图象不过原点，则的值是__________．
【答案】1
【解析】幂函数的图象不过原点，所以
解得，符合题意．
故答案为：1
27．（2015•黄冈模拟）已知幂函数的图象过点，，则__________．
【答案】
【解析】幂函数的图象过点，，
，，
解得，
，
故答案为：．
28．（2020•松原模拟）幂函数的图象经过点，则__________．
【答案】
【解析】幂函数的图象经过点，
故答案为：．
29．（2019•西湖区校级模拟）已知函数的图象在，上单调递增则__________，（2）__________．
【答案】0，2；8
【解析】函数的图象在，上单调递增，
所以，
即，
解得；
又，且，
所以，2，
当时，；
当时，；
所以（2）．
故答案为：0，2；8．
30．（2019•西湖区校级模拟）若幂函数的图象过点，则（3）__________．
【答案】27
【解析】设，因为幂函数图象过，
则有，，即，
（3）（3）
故答案为：27．
31．（2019•西湖区校级模拟）幂函数的图象过点，则的解析式是__________．
【答案】
【解析】由题意设，
幂函数的图象过点，
（3），
，
，
故答案为：．
32．（2020•浙江模拟）已知函数，对一切，，都有，则当，时，的最大值为__________．
【答案】7
【解析】由题意，
有得
所以（1）
对一切，，都有
所以当时，
当时，
综上所述，当，时，的最大值为7．
33．（2020•余姚市校级模拟）已知，若对任意的，存在，，使得成立，则实数的最大值是__________．
【答案】
【解析】设，，当，时，由可看作函数与函数的纵向距离，
当切点与端点到直线纵向距离相等时，取得最大值的最小值，
由，得，则切线方程为，
过端点的平行线为，
当纵向距离时，即时，纵向距离有最大值的最小值，
此时纵向距离，即．
故答案为：．
34．（2020•江苏一模）已知函数是奇函数，若对于任意的，关于的不等式（a）恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由奇函数的性质可得，恒成立，
即，
故即，此时单调递减的奇函数，
由不等式（a）恒成立，可得恒成立，
结合二次函数的性质可知，，
所以．
故答案为：．
35．（2020•江都区校级模拟）函数在区间上递减，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】在区间上递减，
，
解可得，
故答案为：．
36．（2019•西湖区校级模拟）已知函数为偶函数，且（3）（5）．
（1）求函数的解析式；
（2）若且在区间，上为增函数，求实数的取值范围．
【解析】（1）为偶函数，为偶数，
又（3）（5），，即有：，
，，又，或．
当时，为奇数（舍去），
当时，为偶数，符合题意．
，
（2）由（1）知： 且在区间，上为增函数．
令，；
①当时，是关于的增函数，只需在区间，上为增函数．
即：
②当时，是关于的减函数，只需在区间，上为减函数．
即：，
综上可知：的取值范围为：．
