高中数学高考08第二章 函数概念与基本初等函数 2 5　指数与指数函数

§2.5　指数与指数函数

1．分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且为既约分数)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且为既约分数)；0的正分数指数幂等于    ；0的负分数指数幂         ．

(2)有理指数幂的运算性质：aαaβ＝     ，(aα)β＝     ，(ab)α＝     ，其中a>0，b>0，α，β∈Q.

2．指数函数的图象与性质

概念方法微思考

1．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________．

2．结合指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质说明ax>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)＝()n＝a(n∈N＋)．(　 　)

(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　 　)

(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　 　)

(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　 　)

(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　 　)

题组二　教材改编

2．化简(x<0，y<0)＝________.

3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________.

4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

题组三　易错自纠

5．计算：×0＋×－＝________.

6．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝______.

7．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．

8．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．

题型一　指数幂的运算

1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)

A．(－2)－2＝4   B．2a－3＝

C．(－2)0＝－1   D．＝

2．计算：＋－10(－2)－1＋π0＝________.

3．化简：(a>0，b>0)＝________.

4．化简：＝________(a>0)．

题型二　指数函数的图象及应用

例1 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0

D．0<a<1，b<0

(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)

A．a<0，b<0，c<0   B．a<0，b≥0，c>0

C．2－a<2c   D．2a＋2c<2

跟踪训练1 (1)已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：

①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.

其中不可能成立的关系式有(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．

题型三　指数函数的性质及应用

命题点1　比较指数式的大小

例2 (1)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．b<a<c   B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

(2)若－1<a<0，则3a，，a3的大小关系是__________．(用“>”连接)

命题点2　解简单的指数方程或不等式

例3 (1)(2018·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．

(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________________．

命题点3　指数函数性质的综合应用

例4 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．

(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．

(3)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________.

跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)

A．f(bx)≤f(cx)   B．f(bx)≥f(cx)

C．f(bx)>f(cx)   D．与x有关，不确定

(2)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f(a)，f(b)的大小关系是__________．

(3)若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是____________．

1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c  B．a<c<b  C．b<a<c  D．b<c<a

2．已知函数f(x)＝5x，若f(a＋b)＝3，则f(a)·f(b)等于(　　)

A．3  B．4  C．5  D．25

3．(2018·大连模拟)已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<bx<ax，则(　　)

A．0<b<a<1   B．0<a<b<1

C．1<b<a   D．1<a<b

4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(　　)

A．[9,81]  B．[3,9]  C．[1,9]  D．[1，＋∞)

5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]   B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)   D．(－∞，－2]

6．已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3]  B．[－3,0)  C．[－3，－1]  D．{－3}

7．若“m>a”是“函数f(x)＝x＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为________．

8．不等式>x＋4的解集为________．

9．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．

10．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．

11．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝x－1－4x＋2的最大值和最小值．

12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．

(1)求f(x)的表达式；

(2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

13．(2018·呼和浩特调研)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　)

A.  B．[0,1]  C.  D．[1，＋∞)

14．若函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间[m，n]上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是______________．

15．设f(x)＝|2x－1－1|，a<c且f(a)>f(c)，则2a＋2c______4.(选填“>”“<”“＝”)

16．已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2)．

(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；

(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．