第5章数列专练3—等差数列（二）-2021届高三数学一轮复习
展开数列专练3—等差数列（二）
一、单选题
1．在等差数列中，若，是方程的两根，则的值为
A．6 B． C．16 D．14
2．已知数列中，若，，则下列各不等式中一定成立的是
A． B． C． D．
3．设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则
A． B． C． D．
4．若两等差数列、前项和分别为、，满足，则的值为
A． B． C． D．
5．在等差数列中，，．记，2，，则数列
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
6．若为等差数列，首项，，，则使得前项和成立的最大自然数是
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
7．下列关于公差的等差数列的四个命题：
：数列是递增数列；
：数列是递增数列；
：数列是递增数列；
：数列是递增数列；
其中真命题是
A．， B．， C．， D．，
8．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为
A．63 B．64 C．65 D．66
二、多选题
9．设等差数列的前项和为．若，，则有
A． B． C． D．
10．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则对描述正确的有
A．是唯一最大值 B．是最大值
C． D．是最小值
11．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．与均为的最大值
12．已知等差数列的首项是正数，记为数列的前项和，若，则下列结论中正确的有
A．
B．
C．是先增后减数列
D．且为的最大值
三、填空题
13．已知是等差数列，若，则
14．在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为 ．
15．在等差数列中，已知第1项到第10项的和为20，第11项到第20项的和为1020，则第21项到第30项的和为 ．
16．设公差不为零的等差数列的前项和为，．若存在常数，使得恒成立，则取最大值时， ．
四、解答题
17．设是等差数列的前项和，，_____．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和的最值．
从①；②；③中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
18．已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等差数列．
所以，，
两式相减可得，，，
故数列的奇数项是以8为公差的等差数列，，
偶数项是以8为公差的等差数列，，
故数列是以4为首项，以4为公差的等差数列．
19．已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求通项公式；
（2）求的最小值；
（3）若数列是等差数列，且，求非零常数．
20．已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求证：是等差数列
（2）求数列的通项公式．
数列专练3—等差数列（二）答案
五、单选题
1．解：由题设条件和韦达定理可得：，
，，故选：．
2．解：由可得数列为等差数列
故选：．
3．解：数列为递减数列，，即，
，故选：．
4．解：由题意可得
故选：．
5．解：设等差数列的公差为，由，，得，
．
由，得，而，
可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．
可知，，，为最大项，
自起均小于0，且逐渐减小．
数列有最大项，无最小项．
故选：．
6．解：，，
且，，
又，
而
故使得前项和成立的最大自然数是2018，
故选：．
7．解：对于公差的等差数列，，命题：数列是递增数列成立，是真命题．
对于数列，第项与第项的差等于，不一定是正实数，
故不正确，是假命题．
对于数列，第项与第项的差等于，不一定是正实数，
故不正确，是假命题．
对于数列，第项与第项的差等于，
故命题：数列是递增数列成立，是真命题．
故选：．
8．解：，，成等差数列，
①，
由①可得：，
，，
又②，
由②①可得：，
数列是公差为2的等差数列，
，，，
，
，
当时，，
的最大值为63．
故选：．
六、多选题
9．解：设等差数列的公差为，由题设可得：，解得：，
，，
故选：．
10．解：等差数列的前项和为，公差为，且满足，，
，，化为：．
．，都是最大值．故选：．
11．解：根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故正确；
又由由得，则有，故错误；
而选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然选项是错误的．
，，与均为的最大值，故正确；
故选：．
12．解：，
，
，
，，
数列是递减数列，且公差，故选项、正确，选项错误；
又，选项正确，
故选：．
七、填空题
13．解：是等差数列，，
，
解得，
．
故答案为：15．
14．解：，当且仅当时取得最大值，
，即，解得：，
综上：的取值范围为．
15．解：设等差数列的前项和为，由题设知：，，
由等差数列前项和性质可知：，，成等差数列，
即20，1020，成等差数列，
，
解得：，
故答案为：2020．
16.解：设公差为，由恒成立，可得：当时，有，
，①，
又当时，有②，
由①②可解得：，，
，，
令，，
则，
易知当时，；当时，；当时，，
当最大时，或19，
即取最大值时，或19，
故答案为：18或19．
八、解答题
17．解：选①：（Ⅰ）设等差数列的公差，由题设知：，解之得：，，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
数列是递增数列，
．
选②：（Ⅰ）设等差数列的公差，由题设知：，
，，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
令，故．
选③：
（Ⅰ）设等差数列的公差，由题设知：，解得，
，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
令，
故．
18．解：（1），，
，，
两式相减可得，，，
，
，适合上式，
故，，
证明：（2）因为，
所以，，
两式相减可得，，，
故数列的奇数项是以8为公差的等差数列，，
偶数项是以8为公差的等差数列，，
故数列是以4为首项，以4为公差的等差数列．
19．解：（1）数列为等差数列，．
又，
，是方程的两实根．
又公差，，，，
，解得，，
通项公式．
（2）由（1）知，，
．
当时，最小，最小值为．
（3）由（2）知，，
，，．
数列是等差数列，
，即，
，舍去），故．
20．证明：（1）当时，，
又，所以．
若，则与矛盾．
故，所以．
又，所以是首项为2，公差为2的等差数列．（6分）
（2）解：由（1）得，
故．
当时，
；
当时，．
所以．（12分）
