第5章数列专练2—等差数列（一）-2021届高三数学一轮复习
展开数列专练2—等差数列（一）
一、单选题
1．已知等差数列的公差，，那么的值是
A． B． C． D．
2．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则
A． B． C．10 D．12
3．已知等差数列的前项和为，公差为，若，则
A．19 B． C． D．
4．已知数列满足，那么必有
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
5．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
6．已知数列是无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则
A．在中最大的数是
B．在中最大的数是
C．在，，，，中最大的数是
D．在，，，，中最大的数是
7．已知正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则
A． B． C． D．1
8．若数列满足，为常数），则称数列为调和数列，已知数列为调和数列，且，则的最大值为
A． B．2 C． D．4
二、多选题
9．等差数列的首项，设其前项和为，且，则
A． B．
C． D．的最大值是或者
10．设公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列各式的值为0的是
A． B． C． D．
11．设等差数列的公差为，前项和为，若，，，则下列结论正确的是
A．数列是递增数列 B．
C． D．，，，中最大的是
12．设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有
A．当时，取最大值 B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题
13．若等差数列的前项和为，已知，则 ．
14．已知数列是公差不为零的等差数列，且，则 ．
15．将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 ．
16．等差数列的前项和为，已知，，则使取最小值的等于 ．
四、解答题
17．设是等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，求的最小值．
18．已知数列的前项和．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求的通项公式．
19．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．设等差数列的前项和为．已知，，．
（1）求公差的取值范围．
（2）指出，，，中哪一个值最大，并说明理由．
21．已知数列的前项和为，，，满足
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求证：．
22．记为等差数列的前项和．已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
数列专练2—等差数列（一）答案
一、单选题
1．解：由题意可得
，故选：．
2．解：是公差为1的等差数列，，
，解得．则．
故选：．
3．解：因为，所以，
所以，则．故选：．
4．解：，，
，，
，数列是等差数列，故选：．
5．解：方法一：
设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，
由等差数列的性质可得，，成等差数列，
且，
则，
则，
则三层共有扇面形石板块，
方法二：
设第环天石心块数为，第一层共有环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，，，
下层比中层多729块，
，
，
，解得，
，
故选：．
6．解：由题设知数列是等差数列，且前项和存在最大值，
公差，在定义域上是单调递减的，
最大．故选：．
7．解：设等差数列和的公差为，
则，，
，，
平方化为：，，
可得：，代入，
化为，
解得或．
时，可得，舍去．
，．
．
故选：．
8．解：由题设知：，为常数），
是等差数列，
，
，
（当且仅当时取“等号“，
，
（当且仅当时取“等号“，
的最大值为．
故选：．
五、多选题
9．解：，
所以，，最大，故选：．
10．解：设的首项为，公差为，由，
即，
得，
，
，
所以，．
，
．
故选：．
11．解：依题意，有，
，化为：，，
即，，
．
由，得，联立解得．等差数列是单调递减的．
，，，中最大的是．
．
综上可得：正确．
故选：．
12．解：，分别为等差数列的公差与前项和，，
，
解得，
，
当时，当时，取最小值；当时，当时，取最大值，故错误；
当时，，故正确；
当时，，故正确；
当时，，
，
当时，，故错误．
故选：．
六、填空题
13．解：根据题意，等差数列中，，
又由，则有，
则，
故答案为：29
14．解：根据题意，等差数列满足，即，变形可得，
所以．
故答案为：．
15．解：将数列与的公共项从小到大排列得到数列，
则是以1为首项、以6为公差的等差数列，
故它的前项和为，
故答案为：．
16．解：设等差数列的首项为，公差为，
，，
，，
，
令，
，
当时，取得极值，当时，递减；当时，递增；
因此只需比较（6）和（7）的大小即可．
（6），（7），
故的最小值为．
故答案为：6或7．
七、解答题
17．解：（Ⅰ）是等差数列，，且，，成等比数列．
，
，
解得，
．
（Ⅱ）由，，得：
，
或时，取最小值．
18．证明：（Ⅰ）数列的前项和．
当时，，解得，
当时，，．
两式相减，得，
，
，
又，
数列是首项为2，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）数列是首项为2，公差为2的等差数列，
，
．
的通项公式为．
19．解：（1）由，，，成等比数列，得，
解得
所以等差数列的通项公式为．．（6分）
（2）当时，．
当时，
，
故（12分）
20．解：（1）依题意，有，
即
由，得③，
将③式分别代①、②式，得
．
（2）由可知．
因此，若在中存在自然数，使得，，
则就是，，，中的最大值．
，
，，
故在，，，中的值最大．
21．证明：（1）
，
，，
，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1），
利用叠加法可得，
，
，
．
22．解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则，变形可得，即，
若，则，
则，
（2）若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由，即，则有，即，则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：的取值范围是，．
