2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第九章第五节　抛物线

第五节　抛物线
[考纲要求]
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．了解抛物线的简单应用．
4．理解数形结合思想．　　　
突破点一　抛物线的定义及其应用


抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)AB为抛物线y2＝4x的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，y1y2＝－4，弦长|AB|＝x1＋x2＋2.(　　)
答案：(1)×　(2)√
二、填空题
1．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
答案：y2＝8x
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝________.
答案：1
3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
答案：


考法一　抛物线的定义及应用　
[例1]　(1)(2019·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)
A．(0,0)　　　　　　　　 B.
C．(1，) D．(2,2)
(2)(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于点N，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝(　　)
A．2 B．3
C. D.
[解析]　(1)过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
(2)如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.故选C.
[答案]　(1)D　(2)C
[方法技巧]
利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．　　
考法二　焦点弦问题　
焦点弦的常用结论
以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(3)＋＝为定值；
(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
(5)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；
(6)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；
(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
[例2]　(2019·长沙四校联考)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线的准线交于点M，且＝3，则||＝(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　如图，不妨设Q点在第一象限，过P作PN垂直于抛物线的准线，垂足为N，
由抛物线定义可知|PF|＝|PN|，
又因为＝3，
所以＝2，
所以|PM|＝2|PF|＝2|PN|，
在Rt△PNM中，cos∠MPN＝＝，
由抛物线焦点弦的性质可知||＝＝＝.故选C.
[答案]　C
[方法技巧]
焦点弦问题的求解策略
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．　　

1.若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选B　设P(xP，yP)，由题意可得抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由抛物线的定义知点P到准线的距离为2，∴xP＋1＝2，得xP＝1，代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.故选B.
2.已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)
A.2 B.
C. D.
解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴点C的横坐标是＝.故选C.
3.已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．

解析：依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1，5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.
答案：5
突破点二　抛物线的标准方程及性质


图形




标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点坐标




准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
离心率
e＝1
焦半径
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
二、填空题
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是________．
答案：y2＝－22x
2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为________．
答案：－
3．已知F是抛物线x2＝8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|＝________.
答案：7


考法一　求抛物线的标准方程　
[例1]　(1)(2019·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝6x　　　　　　　 　B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝
(2)(2019·江西协作体联考)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
[解析]　(1)设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C.
[答案]　(1)B　(2)C
[方法技巧]
求抛物线方程的3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
考法二　抛物线的几何性质　
[例2]　(1)(2019·兰州双基过关考试)抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
(2)(2018·赣州二模)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　(1)设抛物线的准线方程为x＝－(p＞0)，如图，则根据抛物线的性质有|PF|＝＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.
(2)不妨设A(x0，y0)在第一象限，
由题意可知即
∴A，
又∵点A在抛物线y2＝2px上，∴＝2p×，即p4＝16，
又∵p＞0，∴p＝2，故选B.
[答案]　(1)B　(2)B
[方法技巧]
用抛物线几何性质的技巧
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题．　　

1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x　　　　　　　　 　B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y

解析：选D　设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.
2.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(0，－)．若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意，F(1,0)，|AF|＝2，设|MF|＝d，则M到准线的距离为d，M的横坐标为d－1，由三角形相似，可得＝，所以d＝，故选A.
3.已知A是抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(　　)
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－2 D．y＝－2
解析：选A　过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.选A.
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·石家庄模拟)抛物线y＝2x2的准线方程是(　　)
A．x＝　　 　　　　　 　B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
解析：选D　抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－.
2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析：选D　由题意知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线C的方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝±4x.故选D.
3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝(　　)
A． B．
C．3 D．4
解析： 选D　抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义可知，5＝n＋1，得n＝4，故选D.
4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)
A. B．－
C．± D．－
解析：选B　将y＝1代入y2＝4x可得x＝，即A.由题可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－，故选B.
5．(2019·珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1，2)，所以kAF＝＝－，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.
6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y2＝x的焦点坐标是________．
解析：由于抛物线y2＝2px的焦点坐标为，
因此抛物线y2＝x的焦点坐标为.
答案：
[B级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·武汉调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为(　　)
A. B．2
C．3 D．2
解析：选B　∵直线MF的斜率为，MN⊥l，∴∠NMF＝60°，
又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，∴△NMF是边长为4的等边三角形，
∴M到直线NF的距离为2.故选B.
2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
解析：选B　设圆心为M，过点A，B，M分别作准线 l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，∴|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝|AB|，即圆心M到准线l的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则点F到MN的距离为(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选B　由题可知|MF|＝2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d＝|NF|，因为|NF|＝|MN|，所以cos∠NMF＝＝＝，所以sin∠NMF＝＝，所以点F到MN的距离为|MF|sin∠NMF＝2×＝1，故选B.
4．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　)
A．4 B．3
C．4 D．8
解析：选C　由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵直线AF的斜率为，∴直线AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝ 60°，故△AHF为等边三角形．设A，m＞0，由|AF|＝|AH|，得－1＝·，解得m＝2，故等边△AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4.故选C.
5．(2019·邯郸质检)已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ为(　　)
A． B．
C．2 D．3
解析：选C　把点A代入抛物线的方程得2＝2p×，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B(－1,0)，设M，则＝，＝，由＝λ，得解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.
6．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l：x－y－a＝0与抛物线x2＝4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|＝，则a＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：选D　∵直线l的方程为x－y－a＝0，∴直线l的倾斜角为60°，∵直线l与抛物线x2＝4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，且|MN|＝，∴|PQ|＝sin 60°＝8.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，得得x2－4x＋4a＝0，由Δ＞0得a＜3，∴x1＋x2＝4，x1x2＝4a，∴|PQ|＝·＝8，即48－16a＝16，∴a＝2，故选D.
7．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C：y2＝4x，点D(2,0)，E(4,0)，M是抛物线C上异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND并分别延长交抛物线C 于点P，Q，连接PQ，若直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，则＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为x＝y＋2，代入抛物线C：y2＝4x，整理得y2－y－8＝0，所以y1y3＝－8，即y3＝ －，从而x3＝，故P，同理可得Q，因为M，E，N三点共线，所以＝，得y1y2＝－16，所以k2＝＝，k1＝＝＝，所以＝2.故选C.
8．(2019·辽宁五校联考)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为(　　)
A． B．
C． D．3
解析：选C　如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥l，E，所以N(－1，)，M(0，2)，所以|NF|＝，|NM|＝，所以△MNF的面积为，故选C.
9．(2019·河南百校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝(O为坐标原点)，则·＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选A　不妨设M(m，)(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|＝|MF|＝，所以解得m＝，p＝2，所以＝，＝，所以·＝－2＝－.故选A.
10．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y2＝4x上有一条长度为10的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离为________．
解析：设抛物线的焦点为F，准线为l：x＝－1，弦AB的中点为M，则点M到准线l的距离d＝≥，所以点M到准线l的距离的最小值为5，所以点M到y轴的最短距离为5－1＝4.
答案：4
11．(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线AF的斜率为________．
解析：∵双曲线－y2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2＝8x，∵|AF|＝3，
∴xA＋2＝3，得xA＝1，代入抛物线方程可得yA＝±2.∵点A在第一象限，∴A(1，2)，
∴直线AF的斜率为＝－2.
答案：－2
13．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.
解析：法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|＝3，|BC|＝6，∠BAC＝α，所以sin α＝＝，所以|AB|＝＝9，解得p＝4.
法二：设直线AB的倾斜角为α，不妨设A在x轴上方，B在x轴下方，则|AF|＝，|BF|＝，则有＝2×，解得cos α＝，又|AF|＝＝6，所以p＝4.
法三：由结论＋＝，得＋＝，解得p＝4.
答案：4
14．(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，
∴设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，
∵点N在以AB为直径的圆上，
∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，
联立，得结合①式，解得即N(pk，－1)．
|AB|＝|x2－x1|＝＝，
点N到直线AB的距离d＝＝，
则S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，
∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
15．(2019·贵阳摸底)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.
(1)求直线l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线．
解：(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为y＝k(x－1)，
代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由题意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，
由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1，
∴直线l的方程为y＝±(x－1)．

(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，
又E(－1,0)，
∴kEB－kED＝－＝，
y2(x1＋1)＋y1(x2＋1)＝y2＋y1
＝(y1＋y2)＋(y1＋y2)＝(y1＋y2).
由(1)知x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，
又y1与y2异号，
∴y1y2＝－4，即＋1＝0，∴kEB＝kED，
又ED与EB有公共点E，∴B，D，E三点共线．