2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：选修4－4第二节　参数方程

第二节　参数方程

1.了解参数方程，了解参数的意义．
2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

突破点一　参数方程


1．参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (φ为参数)．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)参数方程(t为参数)所表示的图形是直线．(　　)
(2)直线y＝x与曲线(α为参数)的交点个数为1.(　　)
答案：(1)√　(2)×
二、填空题
1．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为____________________．
解析：由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．
答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)
2．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B两点，则|AB|min＝________.
答案：
3．参数方程(t为参数)化为普通方程为________________________．
解析：∵x＝，
y＝＝＝4－3×＝4－3x.
又x＝＝＝2－∈[0,2)，
∴x∈[0,2)，
∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．
答案：3x＋y－4＝0(x∈[0,2))


考法一　参数方程与普通方程的互化　
[例1]　将下列参数方程化为普通方程．
(1)(k为参数)；
(2)(θ为参数)．
[解]　(1)两式相除，得k＝，
将其代入x＝，得x＝，
化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．
(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，
得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，
故所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．
[方法技巧]
将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．　　
考法二　参数方程的应用　
[例2]　(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
[解]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，
于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
[方法技巧]
1．直线参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)|M1M2|＝|t1－t2|.
(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
(3)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．　　

1.求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．
解：将消去参数t得直线x＋y－1＝0；
将消去参数α，得圆x2＋y2＝9.
又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＜3.
因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
2.已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积．
解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，
所以它的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)，
把它代入抛物线的方程，得t2＋t－2＝0，
由根与系数的关系得t1＋t2＝－，t1·t2＝－2，
由参数t的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝，
|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.
突破点二　参数方程与极坐标方程的综合问题
[典例]　(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．
联立
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－，
从而cos2θ＝，sin2θ＝.
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交点M的极径为.

[方法技巧]
处理参数方程与极坐标方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　　
[针对训练]
1．(2019·贵阳模拟)曲线C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.
(1)写出C的普通方程，并用(α为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程；
(2)l与C是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．
解：(1)C的普通方程为＋y2＝1，
由ρcos＝得x－y－2＝0，
则直线l的倾斜角为，
又直线l过点(2,0)，得直线l的一个参数方程为(t为参数)．
(2)将l的参数方程代入C的普通方程得
5t2＋4t＝0，解得t1＝0，t2＝－，
显然l与C有两个交点，分别记为A，B，且|AB|＝|t1－t2|＝.
2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．
解：(1)由已知，得圆心C的直角坐标为(1，)，圆的半径为2，
∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，
即x2＋y2－2x－2y＝0，
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，
故圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.
(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，
将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，
(2＋tcos φ)2＋(＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－2(＋tsin φ)＝0，
整理得，t2＋2tcos φ－3＝0，
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－2cos φ，t1·t2＝－3，
∴|MN|＝|t1－t2|＝＝.
∵φ∈，∴cos φ∈，∴|MN|∈[，4]．
故弦长|MN|的取值范围为[，4]．
[课时跟踪检测]
1．(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C的参数方程是(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求曲线C与直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝，求实数m的值．
解：(1)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋(y－m)2＝1.
由x＝1＋t，得t＝x－1，代入y＝4＋t，得y＝4＋2(x－1)，
所以直线l的普通方程为2x－y＋2＝0.
(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d＝，
由勾股定理得2＋2＝1，解得m＝3或m＝1.
2．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0)，.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，
故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为
d＝.
当a≥－4时，d的最大值为 .
由题设得＝，解得a＝8；
当a＜－4时，d的最大值为.
由题设得＝，解得a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
3．(2019·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＋4sin θ＝ρ.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2,2)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|·|MB|的值．
解：(1)由消去参数t可得y＝(x－2)＋2，
∴直线l的普通方程为x－y＋2－2＝0.
∵ρsin2θ＋4sin θ＝ρ，∴ρ2sin2θ＋4ρsin θ＝ρ2.
∵ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.
(2)将代入抛物线方程x2＝4y中，
可得2＝4，
即t2＋(8－8)t－16＝0.
∵Δ＞0，且点M在直线l上，
∴此方程的两个实数根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，
∴t1t2＝－16，
∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝16.
4．(2019·贵州联考)以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的单位长度相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，过点M(2，－2)且倾斜角为α的直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程，并用(α为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的参数方程；
(2)若M是线段AB的中点，求α的值．
解：(1)由ρ＝得ρsin2θ＝4cos θ，
∴ρ2sin2θ＝4ρcos θ，即y2＝4x(x≠0)，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x(x≠0)；
直线l的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)．
(2)将代入y2＝4x(x≠0)得
(sin2α)t2－4(sin α＋cos α)t－4＝0，
∴t1＋t2＝＝0，∴α＝.
5．(2019·洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝(0≤θ≤π)．
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2，求m的值．
解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0.
由曲线C2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，
∴曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1(0≤y≤1)．
(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(cos α，sin α)，α∈[0，π]，
则点P到曲线C1的距离
d＝＝.
∵α∈[0，π]，
∴cos∈，2cos∈[－2，]．
由点P到曲线C1的最小距离为2得，
若m＋＜0，则m＋＝－4，即m＝－4－；
若m－2＞0，则m－2＝4，即m＝6；
若m－2≤0，m＋≥0，即－≤m≤2时，
min＝0，不合题意，舍去．
综上，m＝－4－或m＝6.
6．(2019·广州花都区模拟)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．
解：(1)由已知得l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1，
联立方程解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|＝1.
(2)由题意，得C2的参数方程为(θ为参数)，
故点P的坐标为，
从而点P到直线l的距离是
d＝＝，
当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
7．(2019·辽宁五校联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，写出D点的直角坐标．
解：(1)由ρ＝2sin θ可得ρ2＝2ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，
消去t得l的普通方程为y＝－x＋5，
由(1)得曲线C的圆心为(0,1)，半径为1，
又点(0,1)到直线l的距离为＝2＞1，
所以曲线C与l相离．
设D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，
则曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行，
∴·(－)＝－1，
又x＋(y0－1)2＝1，
∴x0＝－(舍去)或x0＝，∴y0＝，
∴点D的直角坐标为.
8．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点需满足＜1，
解得k＜－1或k＞1，
即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是.