2020版高考数学一轮复习课时作业19《 任意角和弧度制及任意角的三角函数》(含解析) 练习

第三章　三角函数、解三角形

课时作业19　任意角和弧度制及任意角的三角函数

一、选择题

1.将－300°化为弧度为(　B　)

A.－π  B.－π

C.－π  D.－π

解析：－300×＝－π.

2.tan的值为(　D　)

A.  B.－

C.  D.－

解析：tan＝tan(2π＋)＝tan＝－.

3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是(　C　)

A.2   B.sin2

C.   D.2sin1

解析：r＝，l＝θ·r＝2·＝，故选C.

4.已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tanθ＝＝－，又θ∈[0,2π)，可得θ＝.

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα的值为(　D　)

A.  B.－

C.  D.－

解析：因为点A的纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cosα＝－.

6.(2019·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝(　D　)

A.   B.

C.－   D.－

解析：因为α是第二象限角，所以cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，所以tanα＝＝－.

7.点P(cosα，tanα)在第二象限是角α的终边在第三象限的(　C　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

解析：若点P(cosα，tanα)在第二象限，则可得α的终边在第三象限；反之，若角α的终边在第三象限，有即点P(cosα，tanα)在第二象限，故选项C正确.

8.已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是(　C　)

A.[－2,2]   B.[－，]

C.[－1,1]   D.

解析：设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝cosα，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cosα－sin(α＋30°)＝－sinα＋cosα＝sin(α＋150°)∈[－1,1].

二、填空题

9.－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°，最大负角是－217°.

解析：因为－2 017°＝－6×360°＋143°，所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同.所以－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.

10.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第四象限角.

解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋<<kπ＋(k∈Z)，故是第二或第四象限角.由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角.

11.一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为.

解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则扇形与圆面积之比为＝，∴α＝.∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.

12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝，则sinβ＝.

解析：解法1：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(2，1)，其关于y轴的对称点(－2，1)在角β的终边上，此时sinβ＝；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角β的终边上，此时sinβ＝.综合可得sinβ＝.

解法2：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sinβ＝sinα＝.

解法3：由已知可得，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝(k∈Z).

13.已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　D　)

A.  B.

C.  D.

解析：由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.

14.(2019·武汉模拟)已知角α的顶点在原点，始边在x轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m，m)，则sin2α＝.

解析：由题意得|OA|2＝m2＋3m2＝1，

故m2＝.

由任意角三角函数定义知cosα＝m，sinα＝m，

由此sin2α＝2sinαcosα＝2m2＝.

15.已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是(　D　)

A.若α，β是第一象限的角，则cosα>cosβ

B.若α，β是第二象限的角，则tanα>tanβ

C.若α，β是第三象限的角，则cosα>cosβ

D.若α，β是第四象限的角，则tanα>tanβ

解析：由三角函数线可知选D.

16.(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝(　B　)

A.  B.

C.  D.1

解析：解法1：由正切定义tanα＝，

则tanα＝＝，

即a＝tanα，b＝2tanα.

又cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝，得tan2α＝，tanα＝±.

∴|b－a|＝|2tanα－tanα|＝|tanα|＝.

解法2：由两点斜率公式，

得：tanα＝＝b－a.

又cos2α＝cos2α－sin2α

＝＝＝，

解得tan2α＝，

∴|b－a|＝|tanα|＝.