2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章8第8讲　曲线与方程

第8讲　曲线与方程

1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．
3．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系；
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
(3)列式——列出动点P所满足的关系式；
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(　　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)
(5)y＝kx与x＝y表示同一直线．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
(教材习题改编)曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　 B．2
C. D．4
解析：选B.设M(x，y)是曲线xy＝2上任一点，则M到两坐标轴的距离之积为|x||y|＝|xy|＝2，故选B.
已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析：选D.由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
(教材习题改编)已知方程ax2＋by2＝2的曲线经过点A和B(1，1)，则曲线方程为________．
解析：由题意得解得
所以曲线方程为x2＋y2＝2，
即x2＋y2＝1.
答案：x2＋y2＝1
平面上有三个不同点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．
解析：＝，＝，
由⊥，得·＝0，
即2x＋·＝0，
所以动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0)．
答案：y2＝8x(x≠0)


　　　　　　定义法求轨迹方程
[典例引领]
已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足||，||，8成等差数列，则点P的轨迹方程为________．
【解析】　由已知得||－||＝8，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
且a＝4，b＝3，c＝5，
所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥4)．
【答案】　－＝1(x≥4)
　
若将本例中的条件“||，||，8”改为“||，||，8”，求点P的轨迹方程．
解：由已知得||－||＝8，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a＝4，b＝3，c＝5，
所以点P的轨迹方程为－＝1(x≤－4)．

定义法求轨迹方程
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．　
[通关练习]
1．(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________________．
解析：设A(x，y)，由题意可知D.又因为|CD|＝3，所以＋＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点不共线，所以点A不能落在x轴上，即y≠0，所以点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
2．(2018·江西红色七校模拟)已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切．求动圆C的圆心的轨迹方程．
解：圆M：(x－2)2＋y2＝64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R＝8.因为|AM|＝4 所以点A(－2，0)在圆M内．
设动圆C的半径为r，依题意得r＝|CA|，且|CM|＝R－r，即|CM|＋|CA|＝8>|AM|.
所以圆心C的轨迹是中心在原点，焦点为A，M，长轴长为8的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝4，c＝2.所以b2＝a2－c2＝12.
所以动圆C的圆心的轨迹方程为＋＝1.

　　　　　　直接法求轨迹方程(高频考点)
直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容．直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度：
(1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)；
(2)无明确等量关系求轨迹方程．
[典例引领]
角度一　已知动点满足的关系式求轨迹方程(或
判断轨迹)
已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)
A．x2＝4y　　　　　　 B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
【解析】　设点P(x，y)，则Q(x，－1)．
因为·＝·，
所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，
整理得x2＝4y，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
【答案】　A
角度二　无明确等量关系求轨迹方程
(2018·河北衡水中学调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：直角顶点C的轨迹方程．
【解】　法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．

直接法求曲线方程的一般步骤
(1)建立合理的直角坐标系；
(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；
(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．
[提醒]　对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．　
[通关练习]
1．已知|AB|＝2，动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹方程为________．
解析：如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)．
设P(x，y)，因为|PA|＝2|PB|，
所以＝2，
整理得x2＋y2－x＋1＝0，
即＋y2＝.
所以动点P的轨迹方程为＋y2＝.
答案：＋y2＝
2．如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴非负半轴于A点，l2交y轴非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

解：设点M坐标为(x，y)．
因为M(x，y)为线段AB中点，
所以点A，B的坐标分别为A(2x，0)，B(0，2y)．
当x≠1时，因为l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，
所以kPA·kPB＝－1，
即·＝－1(x≠1)，
化简得x＋2y－5＝0(x≠1)．
当x＝1时，A，B分别为(2，0)，(0，4)，
所以线段AB的中点为(1，2)，
满足方程x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．
综上得M的轨迹方程为x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．

　　　　　　相关点法(代入法)求轨迹方程
[典例引领]
(2017·高考全国卷Ⅱ节选)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.求点P的轨迹方程．
【解】　设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，
＝(0，y0)．
由＝ 得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，
所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.

　
设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为________．
解析：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，
⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，
所以x0＋y＝0.
由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
所以
即所以－x＋＝0，
即y2＝4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.
答案：y2＝4x

求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．
(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运
动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．
易错防范
(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)
A．一条直线和一条双曲线
B．两条双曲线
C．两个点
D．以上答案都不对
解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔
故或
2．到点F(0，4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为(　　)
A．y＝16x2　　　　　　　　 B．y＝－16x2
C．x2＝16y D．x2＝－16y
解析：选C.由条件知：动点M到F(0，4)的距离与到直线y＝－4的距离相等，所以点M的轨迹是以F(0，4)为焦点，直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y.
3．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．
因为2＝λ·，
所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，
当λ＝1时，轨迹是圆；
当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；
当λ<0时，轨迹是双曲线；
当λ＝0时，轨迹是直线．
综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．
4．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A.设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
由＝＋，得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)，
则解得
由|AB|＝5，得＋＝25，
化简得＋＝1.
5．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)
A．x＋y＝5　　　　　　　　 B．x2＋y2＝9
C.＋＝1 D．x2＝16y
解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.
A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．
6．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量在向量上的投影为－，则点P的轨迹方程是________．
解析：由＝－，知x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0.
答案：x＋2y＋5＝0
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
9．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
(1)△PAB的周长为10；
(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；
(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．
解：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.
因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，
因此|PA|－|PB|＝1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，
且2a＝1，2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.
(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.
因此其轨迹方程为y2＝－8x.
10．(2018·郑州市第一次质量预测)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．
解：(1)由题意，得＝5，即＝5，
化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，
所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.
轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，
此时所截得的线段长度为2＝8，
所以l：x＝－2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝，
由题意，得＋42＝52，解得k＝.
所以直线l的方程为x－y＋＝0，
即5x－12y＋46＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.

1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是(　　)
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D.在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，垂足为E，连接PE，则有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离．
由题意知|PE|2－|PM|2＝1，
又因为|PE|2＝|PF|2＋|EF|2，所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2＝1，
即|PF|2＝|PM|2，即|PF|＝|PM|，
所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离．
由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，
所以点P的轨迹为抛物线．
2.如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________．
解析：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4>|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．设曲线M：＋＝1(a>b>0，y≠0)，则a2＝4，b2＝a2－＝3，所以曲线M：＋＝1(y≠0)为所求．
答案：＋＝1(y≠0)
3．(2018·唐山模拟)已知P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1，0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．
解：(1)圆A的圆心为A(－1，0)，半径等于2.
由已知|MB|＝|MP|，
于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2>2＝|AB|，
故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，
即a＝，c＝1，b＝1，
所以曲线Γ的方程为＋y2＝1.
(2)由cos∠BAP＝，|AP|＝2，得P.
于是直线AP的方程为y＝(x＋1)．
由
整理得5x2＋2x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－.
由于点M在线段AP上，
所以点M坐标为.
4．(2018·安徽安庆模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．
(1)求点C的轨迹M的方程；
(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.
解：(1)依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，
由⇒x2－2pkx－p2＝0⇒x1·x2＝－p2.
易知直线OA：y＝x＝x，直线BC：x＝x2，
由得y＝＝－，
即点C的轨迹M的方程为y＝－.
(2)证明：由题意知直线n的斜率存在．
设直线n的方程为y＝k1x＋m.
由⇒x2－2pk1x－2pm＝0⇒Δ＝4p2k＋8pm.
因为直线n与抛物线相切，所以Δ＝0⇒pk＋2m＝0，可得P(pk1，－m)．
又由⇒Q，
所以·＝·＝－(p＋2m)＋pm＋＝0⇒FP⊥FQ，
所以以线段PQ为直径的圆过点F.