2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章10第10讲　圆锥曲线中的范围、最值问题

第10讲　圆锥曲线中的范围、最值问题


　　　　　　范围问题
[典例引领]
(2018·云南第一次统一检测)已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率等于，P是椭圆E上的点．以线段PF1为直径的圆经过F2，且9·＝1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线2x＋1＝0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．
【解】　(1)依题意，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c.
因为椭圆E的离心率等于，
所以c＝a，b2＝a2－c2＝.
因为以线段PF1为直径的圆经过F2，
所以PF2⊥F1F2.
所以|PF2|＝.
因为9·＝1，
所以9||2＝＝1.
由，得，
所以椭圆E的方程为＋x2＝1.
(2)因为直线x＝－与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝－相交，
所以直线l不可能与x轴垂直，
所以设直线l的方程为y＝kx＋m.
由，得(k2＋9)x2＋2kmx＋(m2－9)＝0.
因为直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，
所以Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)>0，
即m2－k2－9<0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
因为线段MN被直线2x＋1＝0平分，
所以2×＋1＝0，
即＋1＝0.
由，得－(k2＋9)<0.
因为k2＋9>0，
所以－1<0，
所以k2>3，解得k>或k<－.
所以直线l的倾斜角的取值范围为∪.

解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4，0)，B(4，0)，设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，
则k1＝，k2＝.
由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，得，消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.
所以－20<·＋·≤－.
当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20.
综上，·＋·的取值范围为.

　　　　　　最值问题(高频考点)
圆锥曲线中的最值问题是每年高考的热点，常涉及不等式，函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变．主要命题角度有：
(1)利用三角函数的有界性求最值；
(2)数形结合利用几何性质求最值；
(3)建立目标函数求最值；
(4)利用基本不等式求最值．
[典例引领]
角度一　利用三角函数的有界性求最值
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B.
C．4 D．2
【解析】　设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.
【答案】　C
角度二　数形结合利用几何性质求最值
已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为________．
【解析】　如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，
所以|PF|＝4－|PF′|，所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4.当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|＝＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1.
【答案】　1
角度三　建立目标函数求最值
(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
【解】　(1)设直线AP的斜率为k，
k＝＝x－，
因为－ 所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1)．
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝ ＝ (k＋1)，
|PQ|＝ (xQ－x)＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
角度四　利用基本不等式求最值
(2018·太原模拟)已知椭圆M：＋＝1(a>0)的一个焦点为F(－1，0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
【解】　(1)由题意，c＝1，b2＝3，
所以a2＝4，所以椭圆M的方程为＋＝1，
易求直线方程为y＝x＋1，联立方程，得
消去y，得7x2＋8x－8＝0，Δ＝288，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|CD|＝|x1－x2|＝＝.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，
此时△ABD与△ABC面积相等，|S1－S2|＝0；
当直线l的斜率存在时，
设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
联立方程，得
消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
Δ>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝，
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝，因为k≠0，上式＝≤＝＝，
所以|S1－S2|的最大值为.

圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．　
已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率e＝，且椭圆过点.
(1)求该椭圆的方程；
(2)椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
则
解得a2＝4，b2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的半径为R，
易知△F1AB的周长为4a＝8，则S△F1AB＝(|AB|＋|F1A|＋|F1B|)R＝4R，
所以当S△F1AB取得最大值时，R取得最大值，△F1AB的内切圆的面积取得最大值．
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，
由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－.
则S△F1AB＝|F1F2|·(y1－y2)＝，
令 ＝t，则m2＝t2－1(t≥1)，
所以S△F1AB＝＝(t≥1)，
令f(t)＝3t＋(t≥1)，则f′(t)＝3－，
当t≥1时，f′(t)≥0，f(t)在[1，＋∞)上单调递增，
有f(t)≥f(1)＝4，
所以S△F1AB≤3，
即当t＝1，即m＝0时，S△F1AB取得最大值，最大值为3，
由S△F1AB＝4R，得Rmax＝，所以所求内切圆面积的最大值为π.
故△F1AB的内切圆面积的最大值为π，此时直线l：x＝1.

求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围．
圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
求解范围、最值问题的两个易错点
(1)求范围问题要注意变量自身的范围；
(2)利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系．注意特殊关系，特殊位置的应用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是(　　)

A．(10，14)　　　　　　　 B．(12，14)
C．(10，12) D．(9，11)
解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0)，
由抛物线定义可得|QC|＝xQ＋1，
圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5，
可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP，
由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，即有xP∈(4，6)，
可得6＋xP∈(10，12)，
故△PQC的周长的取值范围是(10，12)．故选C.
2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ＞1)，则λ的值为________．
解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.
答案：4
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(，－2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求·的取值范围．
解：(1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝＋＝4，所以a＝2，b＝2，
即椭圆C的方程是＋＝1.
(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，2)，F(0，－2)，
·＝－8.
若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，
将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8，
因为0＜≤10，所以－8＜·≤2，
所以·的取值范围是[－8，2]．
4．设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
解：(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，故椭圆M的方程为＋＝1.
(2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2 且，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·.
又P到直线AB的距离为d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝··
＝＝
≤·＝.
当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号，
所以(S△PAB)max＝.

1．(2018·合肥质量检测(一))已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
解：(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.
由，得x2－2x＋4－3c2＝0.
因为直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
所以Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)得M(1，)，
因为直线＋＝1与y轴交于P(0，2)，
所以|PM|2＝，
当直线l与x轴垂直时，
|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，
所以λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，
所以|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，所以λ＝(1＋)，
因为k2>，所以<λ<1.
综上所述，λ的取值范围是[，1)．
2．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
解：(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)．
又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，
所以a2＝4，b2＝2，
因此椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
由Δ>0得m2<4k2＋2.　(*)
且x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝，
所以D，
又N(0，－m)，
所以|ND|2＝＋，
整理得|ND|2＝，
因为|NF|＝|m|，
所以＝＝1＋.
令t＝8k2＋3，t≥3.
故2k2＋1＝，
所以＝1＋＝1＋.
令y＝t＋，所以y′＝1－.
当t≥3时，y′>0，
从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
因此t＋≥，
等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，
所以≤1＋3＝4，
由(*)得－ 故≥，
设∠EDF＝2θ，则sin θ＝≥，
所以θ的最小值为.
从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率是0.
综上所述：当k＝0，m∈(－，0)∪(0，)时，∠EDF取到最小值.