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2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章6第6讲 双曲线
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第6讲 双曲线
1．双曲线的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
双曲线
F1、F2为双曲线的焦点
|F1F2|为双曲线的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a<|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图 形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
4．双曲线中一些常用的结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2·，其中θ为∠F1PF2.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B.根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝ ①，又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a2＋b2＝9 ②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.
(教材习题改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为________．
解析：法一：由题意，得e＝＝＝，解得＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.
法二：由题意，得e＝＝，即c＝a，所以b2＝c2－a2＝a2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.
答案：4x±3y＝0
(2016·高考北京卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________．
解析：由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.
答案：1 2
双曲线的定义
[典例引领]
(1)设双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于( )
A．10 B．8
C．8 D．16
(2)(2018·孝感质检)△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
【解析】 (1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝×8× ＝8.
(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
【答案】 (1)C (2)－＝1(x>3)
若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求解．
解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则
解得mn＝16，所以S△PF1F2＝mn＝8.
双曲线定义的应用规律
类型
解读
求方程
由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程
解焦点
三角形
利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题
[提醒] 在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是线段或不存在．
[通关练习]
1．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选B.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，故三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.
2．(2018·湖北武汉调研)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
解析：选B.由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
所以|PF|＋|PA|的最小值为9.
双曲线的标准方程
[典例引领]
(1)(2017·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点(4，)，则双曲线的方程为________．
【解析】 (1)由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan 60°＝，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(4，)，所以λ＝16－4×()2＝4，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：因为渐近线y＝x过点(4，2)，而<2，
所以点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．
所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得解得
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】 (1)D (2)－y2＝1
(1)求双曲线标准方程的答题模板
(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．
[通关练习]
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.由题意知，双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝2x，所以＝2，即b2＝4a2.又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c＝5，即a2＋b2＝25，联立得解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为－＝1.
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选B.法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，所以－＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.
法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为－y2＝1.
双曲线的几何性质 (高频考点)
双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线的离心率(或范围)．
[典例引领]
角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长
(2018·福建龙岩模拟)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16
C．84 D．4
【解析】 由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
【答案】 B
角度二 求双曲线的渐近线方程
过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 如图所示，连接OA，OB，
设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.
因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝＝＝a，
故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±x，即y＝±x.
【答案】 A
角度三 求双曲线的离心率(或范围)
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
(2)已知双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
【解析】 (1)依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2，选择A.
(2)在△PF1F2中，由正弦定理知＝，又＝，所以＝，所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，
又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝.由双曲线几何性质知|PF2|>c－a，则>c－a，即e2－2e－1<0，所以1
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．
[通关练习]
1．(2018·惠州市第三次调研考试)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A.由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，可得＝，所以＋1＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.选A.
2．(2018·郑州市第二次质量预测)已知双曲线C2与椭圆C1：＋＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C2的离心率为________．
解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知a2＋b2＝4－3＝1，由，解得交点的坐标满足，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S＝4|xy|＝4·＝8··≤8·＝4，当且仅当a2＝1－a2，即a2＝时，取等号，此时双曲线的方程为－＝1，离心率e＝.
答案：
直线与双曲线的位置关系
[典例引领]
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
【解】 (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得，a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知
所以k的取值范围为.
在本例(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：由(2)得：xA＋xB＝，
所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)
＝k(xA＋xB)＋2＝.
所以AB的中点P的坐标为.
设直线l0的方程为：y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
因为
研究直线与双曲线位置关系问题的方法
(1)直线与双曲线的位置关系的判断和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，利用方程解的个数确定；
(2)若直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|.
[提醒] 由方程法判断直线与双曲线位置关系时，应注意当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB的长．
解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，
所以
解得c＝3，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，
所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．
联立得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
所以|AB|＝× ＝.
双曲线几何性质的三个关注点
(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；
(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；
(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．
已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1(a>0.b>0)的两条渐近线方程．
易错防范
(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．
(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
(3)双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．
1．(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A.
2．(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M：－＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
解析：选C.由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程为x2－＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C.
3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
4．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为( )
A．6 B．3
C. D.
解析：选A.设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，依题意知，2a＝2a′＋4c，所以＋＝＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2a′时取“＝”，故选A.
5．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D.不妨设B(0，b)，由＝2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，所以＝，①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，
所以a2＋2b2＝16，②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
所以双曲线C的方程为－＝1，故选D.
6．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________．
解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案：5
7．(2018·四川绵阳模拟)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为c2，则该双曲线的离心率为________．
解析：设M，根据矩形的性质，
得|MO|＝|OF1|＝|OF2|＝c，即x2＋＝c2，
则x＝a，所以M(a，b)．
因为△AMN的面积为c2，所以2×·a·b＝c2，
所以4a2(c2－a2)＝c4，所以e4－4e2＋4＝0，所以e＝.
答案：
8．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2＝________．
解析：由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，|F1F2|＝2.设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×2|y0|＝12.故y＝，将P点坐标代入双曲线方程得x＝，不妨设点P，则＝(，)，＝，可得·＝0，即PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝.
答案：
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.
所以＝3，得a＝3，b＝4，
所以双曲线G的方程为－＝1.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积．
解：(1)依题意得解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m>0，n>0，由＝得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.
设∠AOB＝2θ，因为tan＝2，则tan θ＝，从而sin 2θ＝.
又|OA|＝m，|OB|＝n，
所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.
1．(2018·长春市质量检测(二))过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B．13
C．16 D．19
解析：选B.由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.故选B.
2．(2018·石家庄模拟)以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2.已知点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足＝，则S△PMF1－S△PMF2＝( )
A．2 B．4
C．1 D．－1
解析：选A.由题意，知双曲线方程为－＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由＝，可得＝，即F1M平分∠PF1F2.
又结合平面几何知识可得，△F1PF2的内心在直线x＝2上，所以点M(2，1)就是△F1PF2的内心．
故S△PMF1－S△PMF2＝×(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
解：(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)．
易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：y＝k(x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠±，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6.得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1.所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2.
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
解：(1)依题意有＝，c－＝，
因为a2＋b2＝c2，所以c＝2a，
所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，
由得2x2－2mx－m2－3＝0，
所以x1＋x2＝m，x1x2＝－，
又因为·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，所以m＝0(舍)或m＝2，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，
因为·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，所以AD⊥AB，
所以过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，
因为点M的横坐标为1，所以MA⊥x轴，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
1．双曲线的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
双曲线
F1、F2为双曲线的焦点
|F1F2|为双曲线的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a<|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图 形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
4．双曲线中一些常用的结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2·，其中θ为∠F1PF2.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B.根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝ ①，又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a2＋b2＝9 ②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.
(教材习题改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为________．
解析：法一：由题意，得e＝＝＝，解得＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.
法二：由题意，得e＝＝，即c＝a，所以b2＝c2－a2＝a2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.
答案：4x±3y＝0
(2016·高考北京卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________．
解析：由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.
答案：1 2
双曲线的定义
[典例引领]
(1)设双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于( )
A．10 B．8
C．8 D．16
(2)(2018·孝感质检)△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
【解析】 (1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝×8× ＝8.
(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
【答案】 (1)C (2)－＝1(x>3)
若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求解．
解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则
解得mn＝16，所以S△PF1F2＝mn＝8.
双曲线定义的应用规律
类型
解读
求方程
由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程
解焦点
三角形
利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题
[提醒] 在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是线段或不存在．
[通关练习]
1．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选B.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，故三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.
2．(2018·湖北武汉调研)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
解析：选B.由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
所以|PF|＋|PA|的最小值为9.
双曲线的标准方程
[典例引领]
(1)(2017·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点(4，)，则双曲线的方程为________．
【解析】 (1)由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan 60°＝，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(4，)，所以λ＝16－4×()2＝4，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：因为渐近线y＝x过点(4，2)，而<2，
所以点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．
所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得解得
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】 (1)D (2)－y2＝1
(1)求双曲线标准方程的答题模板
(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．
[通关练习]
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.由题意知，双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝2x，所以＝2，即b2＝4a2.又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c＝5，即a2＋b2＝25，联立得解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为－＝1.
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选B.法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，所以－＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.
法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为－y2＝1.
双曲线的几何性质 (高频考点)
双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线的离心率(或范围)．
[典例引领]
角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长
(2018·福建龙岩模拟)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16
C．84 D．4
【解析】 由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
【答案】 B
角度二 求双曲线的渐近线方程
过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 如图所示，连接OA，OB，
设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.
因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝＝＝a，
故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±x，即y＝±x.
【答案】 A
角度三 求双曲线的离心率(或范围)
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
(2)已知双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
【解析】 (1)依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2，选择A.
(2)在△PF1F2中，由正弦定理知＝，又＝，所以＝，所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，
又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝.由双曲线几何性质知|PF2|>c－a，则>c－a，即e2－2e－1<0，所以1
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．
[通关练习]
1．(2018·惠州市第三次调研考试)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A.由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，可得＝，所以＋1＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.选A.
2．(2018·郑州市第二次质量预测)已知双曲线C2与椭圆C1：＋＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C2的离心率为________．
解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知a2＋b2＝4－3＝1，由，解得交点的坐标满足，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S＝4|xy|＝4·＝8··≤8·＝4，当且仅当a2＝1－a2，即a2＝时，取等号，此时双曲线的方程为－＝1，离心率e＝.
答案：
直线与双曲线的位置关系
[典例引领]
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
【解】 (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得，a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知
所以k的取值范围为.
在本例(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：由(2)得：xA＋xB＝，
所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)
＝k(xA＋xB)＋2＝.
所以AB的中点P的坐标为.
设直线l0的方程为：y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
因为
研究直线与双曲线位置关系问题的方法
(1)直线与双曲线的位置关系的判断和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，利用方程解的个数确定；
(2)若直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|.
[提醒] 由方程法判断直线与双曲线位置关系时，应注意当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB的长．
解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，
所以
解得c＝3，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，
所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．
联立得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
所以|AB|＝× ＝.
双曲线几何性质的三个关注点
(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；
(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；
(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．
已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1(a>0.b>0)的两条渐近线方程．
易错防范
(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．
(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
(3)双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．
1．(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A.
2．(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M：－＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
解析：选C.由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程为x2－＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C.
3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
4．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为( )
A．6 B．3
C. D.
解析：选A.设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，依题意知，2a＝2a′＋4c，所以＋＝＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2a′时取“＝”，故选A.
5．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D.不妨设B(0，b)，由＝2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，所以＝，①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，
所以a2＋2b2＝16，②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
所以双曲线C的方程为－＝1，故选D.
6．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________．
解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案：5
7．(2018·四川绵阳模拟)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为c2，则该双曲线的离心率为________．
解析：设M，根据矩形的性质，
得|MO|＝|OF1|＝|OF2|＝c，即x2＋＝c2，
则x＝a，所以M(a，b)．
因为△AMN的面积为c2，所以2×·a·b＝c2，
所以4a2(c2－a2)＝c4，所以e4－4e2＋4＝0，所以e＝.
答案：
8．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2＝________．
解析：由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，|F1F2|＝2.设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×2|y0|＝12.故y＝，将P点坐标代入双曲线方程得x＝，不妨设点P，则＝(，)，＝，可得·＝0，即PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝.
答案：
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.
所以＝3，得a＝3，b＝4，
所以双曲线G的方程为－＝1.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积．
解：(1)依题意得解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m>0，n>0，由＝得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.
设∠AOB＝2θ，因为tan＝2，则tan θ＝，从而sin 2θ＝.
又|OA|＝m，|OB|＝n，
所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.
1．(2018·长春市质量检测(二))过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B．13
C．16 D．19
解析：选B.由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.故选B.
2．(2018·石家庄模拟)以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2.已知点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足＝，则S△PMF1－S△PMF2＝( )
A．2 B．4
C．1 D．－1
解析：选A.由题意，知双曲线方程为－＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由＝，可得＝，即F1M平分∠PF1F2.
又结合平面几何知识可得，△F1PF2的内心在直线x＝2上，所以点M(2，1)就是△F1PF2的内心．
故S△PMF1－S△PMF2＝×(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
解：(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)．
易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：y＝k(x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠±，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6.得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1.所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2.
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
解：(1)依题意有＝，c－＝，
因为a2＋b2＝c2，所以c＝2a，
所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，
由得2x2－2mx－m2－3＝0，
所以x1＋x2＝m，x1x2＝－，
又因为·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，所以m＝0(舍)或m＝2，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，
因为·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，所以AD⊥AB，
所以过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，
因为点M的横坐标为1，所以MA⊥x轴，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
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