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2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章7第7讲 抛物线
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第7讲 抛物线
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
(其中
P(x0，
y0))
|PF|＝
x0＋
|PF|＝
－x0＋
|PF|＝
y0＋
|PF|＝
－y0＋
3.与焦点弦有关的常用结论
(以右图为依据)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )
(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．( )
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
(教材习题改编)抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A．(0，－1) B．(0，1)
C．(1，0) D．(－1，0)
解析：选A.抛物线y＝－x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，p＝2，＝1，故焦点为(0，－1)．
顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：选D.设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.
(教材习题改编)焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．
解析：抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上，直线2x＋y＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－1，0)与(0，－2)，故所求的抛物线的焦点为(－1，0)或(0，－2)，当焦点为(－1，0)时，易得抛物线标准方程为y2＝－4x.
当焦点为(0，－2)时，易得抛物线标准方程为x2＝－8y.
答案：y2＝－4x或x2＝－8y
设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2，由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.
答案：6
抛物线的定义(高频考点)
抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求抛物线上的点与焦点的距离；
(3)求距离和的最值．
[典例引领]
角度一 求抛物线的标准方程
(2018·天津模拟)已知动圆过定点F，且与直线x＝－相切，其中p>0，则动圆圆心的轨迹E的方程为________________．
【解析】 依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x＝－的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y2＝2px.
【答案】 y2＝2px
角度二 求抛物线上的点与焦点的距离
(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____________．
【解析】 法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0，4)，|FN|＝＝6.
法二：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.
【答案】 6
角度三 求距离和的最值
已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【解析】 如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【答案】 4
若本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2.即|PB|＋|PF|的最小值为2.
抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
[通关练习]
1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选A.由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.
2．已知动点P的坐标(x，y)满足方程5
＝|3x＋4y＋12|，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D.由5＝|3x＋4y＋12|⇒＝，所以动点P到定点(1，2)的距离等于其到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离，所以点P的轨迹是抛物线．
3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，
由抛物线的定义知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，
则点M到y轴的距离为|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝.故选C.
抛物线的性质
[典例引领]
(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)(2018·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为( )
A．2 B.
C. D.
【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，所以选B.
(2)由题意知x2＝y，则F，设P(x0，2x)，则|PF|＝＝＝2x＋，所以当x＝0时，|PF|min＝.
【答案】 (1)B (2)D
抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．
[通关练习]
1．(2018·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝
解析：选B.设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.
2.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．当水面宽为2 m时，水位下降了________ m.
解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，把(2，－2)代入方程得p＝1，即抛物线的标准方程为x2＝－2y.将x＝代入x2＝－2y得：y＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m.
答案：1
直线与抛物线的位置关系
[典例引领]
(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
【解】 (1)由已知得M(0，t)，P.
又N为M关于点P的对称点，
故N，
ON的方程为y＝x，代入y2＝2px，
整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝.
因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，
即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．
直线与抛物线位置关系的判断
直线y＝kx＋m(m≠0)与抛物线y2＝2px(p>0)联立方程组，消去y，得到k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0的形式．当k＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k≠0时，设其判别式为Δ，
(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点；
(2)相切；Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点；
(3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．
[提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．
[通关练习]
1．过点(－2，1)斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则由k的值组成的集合为________．
解析：设l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由方程组，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，
①当k＝0时，y＝1，此时x＝，l与抛物线仅有一个公共点.
②当k≠0时，由Δ＝－16(2k2＋k－1)＝0，得k＝－1或k＝，所以k的值组成的集合为.
答案：
2.(2018·湖南长沙四县联考)如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．
解：(1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋＝3，解得p＝2.
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E上，
所以m2＝4×2，解得m＝2，即A(2，2)，
又F(1，0)，
所以直线AF的方程为y＝2(x－1)，
由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或，所以B.
又G(－1，0)，所以kGA＝，kGB＝－，
所以kGA＋kGB＝0，所以∠AGF＝∠BGF，
所以GF为∠AGB的平分线．
抛物线定义的实质可归结为“一动三定”；一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．
抛物线最值问题的求法
(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题．
(2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．
易错防范
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
解析：选C.由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－.
2．若点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．y2＝2x D．y2＝x
解析：选A.根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2＝4，故AB＝4，正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为(2，2)，代入抛物线方程得4＝4p，解得p＝，故所求的抛物线方程为y2＝x.故选A.
3．(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝2y D．x2＝y
解析：选C.由得或即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则＝4，得p＝1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2＝2y.
4．(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y2＝2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF|>2，则点A到原点的距离为( )
A. B．2
C．4 D．8
解析：选B.令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为，代入y2＝2x中，解得a＝或a＝(舍)，此时A(2，2)，故点A到原点的距离为2.
5．(2018·太原模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|等于( )
A. B.
C．3 D．2
解析：选C.因为＝4，所以||＝4||，所以＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，所以＝＝，所以|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3.
6．(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，
把焦点坐标代入可求得p＝，
所以准线方程为y＝－.
答案：y＝－
7．(2018·河北六校模拟)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．
解析：设满足题意的圆的圆心为M.
根据题意可知圆心M在抛物线上，
又因为圆的面积为36π，
所以圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－，
又由题意可知xM＝，所以＝6－，解得p＝8.
所以抛物线方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
8．已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________．
解析：抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，所以上述两点连线的方程为＋＝1.双曲线的渐近线方程为y＝±x.对函数y＝x2，y′＝x.设M(x0，y0)，则x0＝，即x0＝p，代入抛物线方程得y0＝p，由于点M在直线＋＝1上，所以p＋×＝1，解得p＝＝.
答案：
9．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程．
解：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，
得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.
又x1＋x2＝，x1x2＝4，
所以|AB|＝
＝ ＝3，
所以5＝45，
所以a＝4或a＝－36.
故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，
所以p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又因为F(1，0)，所以kFA＝，
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以点N的坐标为.
1．(2018·甘肃兰州模拟)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选C.由题意得F，设P，
显然当y0<0时，kOM<0；当y0>0时，kOM>0.要求kOM的最大值，则y0>0，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，所以kOM＝＝≤＝，
当且仅当y＝2p2时，取得等号．
2．(2018·福建省普通高中质量检查)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.设抛物线的准线与x轴交于点D，则由题意，知F(1，0)，D(－1，0)，分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，则有＝，所以|AA1|＝，故|AF|＝.又＝，即＝，亦即＝，解得|BF|＝4，故选C.
3．(2017·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
解：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得p＝.所以抛物线C的方程为y2＝x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．
直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.
因为y1＋－2x1＝
＝
＝
＝
＝0，
所以y1＋＝2x1.
故A为线段BM的中点．
4．(2018·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.
(1)求·；
(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为p2，求直线AB的斜率k.
解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－2pkx－p2＝0，
则
所以·＝x1·x2＋y1·y2＝－p2.
(2)由x2＝2py，知y′＝，
所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为，，
所以直线AM的方程为y－y1＝(x－x1)，直线BM的方程为y－y2＝(x－x2)，则可得M.
所以kMF＝－，所以直线MF与AB相互垂直．
由弦长公式知，|AB|＝|x1－x2|＝·＝2p(k2＋1)，
用－代替k得，|CD|＝2p，
四边形ACBD的面积S＝·|AB|·|CD|＝2p2＝p2，
解得k2＝3或k2＝，
即k＝±或k＝±.
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
(其中
P(x0，
y0))
|PF|＝
x0＋
|PF|＝
－x0＋
|PF|＝
y0＋
|PF|＝
－y0＋
3.与焦点弦有关的常用结论
(以右图为依据)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )
(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．( )
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
(教材习题改编)抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A．(0，－1) B．(0，1)
C．(1，0) D．(－1，0)
解析：选A.抛物线y＝－x2的标准方程为x2＝－4y，开口向下，p＝2，＝1，故焦点为(0，－1)．
顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：选D.设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.
(教材习题改编)焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．
解析：抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上，直线2x＋y＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－1，0)与(0，－2)，故所求的抛物线的焦点为(－1，0)或(0，－2)，当焦点为(－1，0)时，易得抛物线标准方程为y2＝－4x.
当焦点为(0，－2)时，易得抛物线标准方程为x2＝－8y.
答案：y2＝－4x或x2＝－8y
设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2，由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.
答案：6
抛物线的定义(高频考点)
抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求抛物线上的点与焦点的距离；
(3)求距离和的最值．
[典例引领]
角度一 求抛物线的标准方程
(2018·天津模拟)已知动圆过定点F，且与直线x＝－相切，其中p>0，则动圆圆心的轨迹E的方程为________________．
【解析】 依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x＝－的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y2＝2px.
【答案】 y2＝2px
角度二 求抛物线上的点与焦点的距离
(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____________．
【解析】 法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0，4)，|FN|＝＝6.
法二：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.
【答案】 6
角度三 求距离和的最值
已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【解析】 如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【答案】 4
若本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2.即|PB|＋|PF|的最小值为2.
抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
[通关练习]
1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选A.由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.
2．已知动点P的坐标(x，y)满足方程5
＝|3x＋4y＋12|，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D.由5＝|3x＋4y＋12|⇒＝，所以动点P到定点(1，2)的距离等于其到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离，所以点P的轨迹是抛物线．
3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，
由抛物线的定义知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，
则点M到y轴的距离为|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝.故选C.
抛物线的性质
[典例引领]
(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)(2018·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为( )
A．2 B.
C. D.
【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，所以选B.
(2)由题意知x2＝y，则F，设P(x0，2x)，则|PF|＝＝＝2x＋，所以当x＝0时，|PF|min＝.
【答案】 (1)B (2)D
抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．
[通关练习]
1．(2018·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝
解析：选B.设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.
2.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．当水面宽为2 m时，水位下降了________ m.
解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，把(2，－2)代入方程得p＝1，即抛物线的标准方程为x2＝－2y.将x＝代入x2＝－2y得：y＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m.
答案：1
直线与抛物线的位置关系
[典例引领]
(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
【解】 (1)由已知得M(0，t)，P.
又N为M关于点P的对称点，
故N，
ON的方程为y＝x，代入y2＝2px，
整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝.
因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，
即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．
直线与抛物线位置关系的判断
直线y＝kx＋m(m≠0)与抛物线y2＝2px(p>0)联立方程组，消去y，得到k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0的形式．当k＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k≠0时，设其判别式为Δ，
(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点；
(2)相切；Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点；
(3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．
[提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．
[通关练习]
1．过点(－2，1)斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则由k的值组成的集合为________．
解析：设l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由方程组，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，
①当k＝0时，y＝1，此时x＝，l与抛物线仅有一个公共点.
②当k≠0时，由Δ＝－16(2k2＋k－1)＝0，得k＝－1或k＝，所以k的值组成的集合为.
答案：
2.(2018·湖南长沙四县联考)如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．
解：(1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋＝3，解得p＝2.
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E上，
所以m2＝4×2，解得m＝2，即A(2，2)，
又F(1，0)，
所以直线AF的方程为y＝2(x－1)，
由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或，所以B.
又G(－1，0)，所以kGA＝，kGB＝－，
所以kGA＋kGB＝0，所以∠AGF＝∠BGF，
所以GF为∠AGB的平分线．
抛物线定义的实质可归结为“一动三定”；一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．
抛物线最值问题的求法
(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题．
(2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．
易错防范
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
解析：选C.由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－.
2．若点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．y2＝2x D．y2＝x
解析：选A.根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2＝4，故AB＝4，正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为(2，2)，代入抛物线方程得4＝4p，解得p＝，故所求的抛物线方程为y2＝x.故选A.
3．(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝2y D．x2＝y
解析：选C.由得或即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则＝4，得p＝1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2＝2y.
4．(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y2＝2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF|>2，则点A到原点的距离为( )
A. B．2
C．4 D．8
解析：选B.令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为，代入y2＝2x中，解得a＝或a＝(舍)，此时A(2，2)，故点A到原点的距离为2.
5．(2018·太原模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|等于( )
A. B.
C．3 D．2
解析：选C.因为＝4，所以||＝4||，所以＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，所以＝＝，所以|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3.
6．(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，
把焦点坐标代入可求得p＝，
所以准线方程为y＝－.
答案：y＝－
7．(2018·河北六校模拟)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．
解析：设满足题意的圆的圆心为M.
根据题意可知圆心M在抛物线上，
又因为圆的面积为36π，
所以圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－，
又由题意可知xM＝，所以＝6－，解得p＝8.
所以抛物线方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
8．已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________．
解析：抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，所以上述两点连线的方程为＋＝1.双曲线的渐近线方程为y＝±x.对函数y＝x2，y′＝x.设M(x0，y0)，则x0＝，即x0＝p，代入抛物线方程得y0＝p，由于点M在直线＋＝1上，所以p＋×＝1，解得p＝＝.
答案：
9．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程．
解：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，
得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.
又x1＋x2＝，x1x2＝4，
所以|AB|＝
＝ ＝3，
所以5＝45，
所以a＝4或a＝－36.
故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，
所以p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又因为F(1，0)，所以kFA＝，
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以点N的坐标为.
1．(2018·甘肃兰州模拟)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选C.由题意得F，设P，
显然当y0<0时，kOM<0；当y0>0时，kOM>0.要求kOM的最大值，则y0>0，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，所以kOM＝＝≤＝，
当且仅当y＝2p2时，取得等号．
2．(2018·福建省普通高中质量检查)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.设抛物线的准线与x轴交于点D，则由题意，知F(1，0)，D(－1，0)，分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，则有＝，所以|AA1|＝，故|AF|＝.又＝，即＝，亦即＝，解得|BF|＝4，故选C.
3．(2017·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
解：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得p＝.所以抛物线C的方程为y2＝x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．
直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.
因为y1＋－2x1＝
＝
＝
＝
＝0，
所以y1＋＝2x1.
故A为线段BM的中点．
4．(2018·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.
(1)求·；
(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为p2，求直线AB的斜率k.
解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－2pkx－p2＝0，
则
所以·＝x1·x2＋y1·y2＝－p2.
(2)由x2＝2py，知y′＝，
所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为，，
所以直线AM的方程为y－y1＝(x－x1)，直线BM的方程为y－y2＝(x－x2)，则可得M.
所以kMF＝－，所以直线MF与AB相互垂直．
由弦长公式知，|AB|＝|x1－x2|＝·＝2p(k2＋1)，
用－代替k得，|CD|＝2p，
四边形ACBD的面积S＝·|AB|·|CD|＝2p2＝p2，
解得k2＝3或k2＝，
即k＝±或k＝±.
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