2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第4章第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

[最新考纲]　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．

1．同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；

(2)商数关系：tan α＝.

2．诱导公式

1．同角三角函数关系式的常用变形

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.

2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (　　)

(2)若α∈R，则tan α＝恒成立． (　　)

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (　　)

(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝. (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．化简sin 690°的值是(　　)

A.　　 　B．－　 　　C.　　 　D．－

B　[sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.选B.]

2．若sin α＝，＜α＜π，则tan α＝        .

－　[∵＜α＜π，∴cos α＝－＝－，

∴tan α＝＝－.]

3．已知tan α＝2，则的值为        ．

3　[原式＝＝＝3.]

4．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为        ．

－sin2α　[原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.]

考点1　同角三角函数基本关系式

　同角三角函数基本关系的应用技巧

(1)弦切互化：利用公式tan α＝实现角α的弦切互化．

(2)和(差)积转换：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化．

(3)“1”的变换：1＝sin2α＋cos2α＝cos2α(tan2α＋1)＝sin2α.

　“知一求二”问题

(1)[一题多解]已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝(　　)

A．－　　 B.

C．±   D．－k

(2)(2019·福州模拟)若α∈，sin(π－α)＝，则tan α＝(　　)

A．－   B.

C．－   D.

(1)A　(2)C　[(1)法一：(直接法)由cos α＝k，α∈得sin α＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.故选A.

法二：(排除法)易知k＜0，从而sin(π＋α)＝－sin α＜0，排除选项BCD，故选A.

(2)因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝－.]

　利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的，此时应注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sin α或cos α时，符号的选取．

　弦切互化

(1)(2019·郑州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是(　　)

A.　　 　B．－  C．－3　　 　D．3

(2)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝        .

(1)A　(2)－　[(1)由＝5得＝5，

可得tan α＝2，

则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.故选A.

(2)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.]

　若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．

　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用

(1)若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝(　　)

A.   B.

C.   D．－

(1)B　(2)B　[(1)因为|sin θ|＋|cos θ|＝，两边平方，得1＋|sin 2θ|＝.所以|sin 2θ|＝.所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝.故选B.

(2)因为sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝，解得m＝－.因为θ为第二象限角，所以sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0，因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋，所以sin θ－cos θ＝＝.故选B.]

　对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．

　1.已知sin(π＋α)＝－，则tan值为(　　)

A．2   B．－2

C.   D．±2

D　[因为sin(π＋α)＝－，所以sin α＝，cos α＝±，tan＝＝±2.故选D.]

2．已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，将tan θ＝2代入，得原式＝.故选C.]

3．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝(　　)

A．－   B.

C.   D．－

D　[因为sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，所以1＋2sin xcos x＝1－，所以2sin xcos x＝－＜0，所以x为钝角，所以sin x－cos x＝＝，结合已知解得sin x＝，cos x＝－，则tan x＝＝－.]

4．已知sin θ＝，cos θ＝(m≠0)，则tan(kπ＋θ)(k∈Z)的值为        ．

－　[因为sin θ＝，cos θ＝，所以sin2θ＋cos2θ＝＋＝1，解得m＝8，所以sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝＝－.所以tan(kπ＋θ)(k∈Z)＝tan θ＝－.]

考点2　诱导公式的应用

　应用诱导公式的一般思路

(1)化大角为小角，化负角为正角；

(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．

(1)设f(α)＝

(1＋2sin α≠0)，则f＝        .

(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是        ．

(1)　(2)0　[(1)因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.

(2)因为cos＝cosπ－＝－cos＝－a，sin＝sin＋＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.]

(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．

(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．

　1.化简：＝      .

－1　[原式＝

＝＝

＝－＝－·＝－1.]

2．已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为        ．

－　[原式＝＝tan α，

根据三角函数的定义得tan α＝－.]

考点3　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

　求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求

　已知f(x)＝(n∈Z)．

(1)化简f(x)的表达式；

(2)求f＋f的值．

[解](1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，

f(x)＝

＝＝＝sin2x；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，

f(x)＝

＝

＝＝

＝sin2x，

综上得f(x)＝sin2x.

(2)由(1)得f＋f

＝sin2＋sin2

＝sin2＋sin2

＝sin2＋cos2＝1.

(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．

(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．

[教师备选例题]

已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cos x＝－.　

(1)求sin x－cos x的值；

(2)求的值．

[解](1)由已知，得sin x＋cos x＝，

两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，

由－π＜x＜0知，sin x＜0，

又sin xcos x＝－＜0，

∴cos x＞0，∴sin x－cos x＜0，

故sin x－cos x＝－.

(2)＝　

＝

＝＝－.

　1.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0.

tan α－6sin β－1＝0，

解得tan α＝3，

又α为锐角，故sin α＝.]

2．已知tan(π－α)＝－，且α∈，则＝        .

－　[由tan(π－α)＝－，

得tan α＝，

则

＝

＝＝＝－.]

3．已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，则＋的值为        ．

　[由sin α＋cos α＝－平方得

sin αcos α＝－，

∵＜α＜π，

∴sin α－cos α＝＝，

∴＋＝－＝＝＝.]