2021高考数学一轮复习学案:第五章微专题四向量中数量积的最值
展开微专题四 向量中数量积的最值
[经验分享]
在平面向量的问题中,存在一种“以平面图形为载体的有关数量积的最大值问题”,通过对该类问题的多解探究,进一步提高分析、解决此类问题的能力.
题目 如图1,已知AC=2,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径在AC同侧作半圆,M,N分别为两半圆上的动点(不含端点A,B,C),且BM⊥BN,则·的最大值为________.
答案
解析 方法一 由题设可知AB=BC=BN=1.
因为点M在以AB为直径的半圆上,所以AM⊥BM,又BM⊥BN,所以AM∥BN,若设∠MAB=θ,则∠NBC=θ.
如图2,建立平面直角坐标系xBy,则点A(-1,0),M(-sin2θ,sin θcos θ),C(1,0),N(cos θ,sin θ),
所以=(-sin2θ+1,sin θcos θ)=(cos2θ,sin θcos θ),=(cos θ-1,sin θ).
于是,·=cos2θ·(cos θ-1)+sin2θcos θ
=cos3θ-cos2θ+(1-cos2θ)cos θ
=-cos2θ+cos θ=-2.
又易知0<θ<,所以,当θ=时,可得·的最大值为.
评注 上述求解过程的切入点是引入辅助角θ,准确写出点M,N的坐标,以便灵活利用平面向量的坐标运算加以求解.
方法二 如方法一中图2,建立平面直角坐标系xBy,设直线BN的方程为y=kx(k>0),则因为BM⊥BN,所以直线BM的方程为y=-x.
注意到点N是直线BN与以AC为直径的半圆的交点,所以将y=kx与x2+y2=1联立,可求得点N的坐标为.
注意到点M是直线BM与以AB为直径的半圆的交点,所以将y=-x与2+y2=联立,可求得点M的坐标为.
又A(-1,0),C(1,0),
所以向量=,=,
所以·=+·
=
=-
=-2,
故当=,即k=时,可得·的最大值为.
评注 上述求解过程的关键是引入参数k(直线BN的斜率),并借助直线和圆的方程,灵活求解点M,N的坐标,整个求解过程显然比方法一增加了许多运算量.
方法三 由题设可知AB=BC=BN=1,
因为点M在以AB为直径的半圆上,所以AM⊥BM,又BM⊥BN,所以AM∥BN,
所以·=||×1×cos 0°=||.
因为AM⊥BM,AB=1,
所以||=1×cos∠MAB=cos∠MAB,
所以·=·
=||×1×cos∠MAB=||2.
于是,·=·(-)
=·-·
=||-||2=-2.
又0<||<1,
所以,当||=时,可得·的最大值为.
评注 上述求解过程的关键是充分利用平面向量的数量积公式a·b=|a|·|b|cos θ,将目标问题等价转化为求解关于“||”的二次函数在区间(0,1)上的最大值.
方法四 如图3,分别延长AM,CN,设其交点为E,并设ME与大半圆的交点为D,连结CD,则易知AM⊥MB,AD⊥DC,所以BM∥CD,又B为AC的中点,
图3
所以M为AD的中点,
所以=.
又易知∥,且B为AC的中点,所以N为CE的中点,所以=.
于是,·=·
=·(+)
=·+·
=0+||·||cos 0°
=||·||.
因为BN为△ACE的中位线,
所以||+||=||=2||=2.
从而,·=||·||
≤2=×2=,
当且仅当||=||,即D为AE的中点时不等式取等号.
故所求·的最大值为.
评注 上述求解过程的关键是巧作辅助线,充分利用相关平面几何知识,先获得=和=,然后再综合利用向量的几何意义、数量积运算、三角形中位线性质定理以及基本不等式的变形式“ab≤2”加以灵活求解.
方法五 如图4,以BC为直径画半圆,交BN于点D,连结CD,则BD⊥CD.又易知AM∥BD,且AM=BD,
图4
所以·=·(+)
=·+·
=0+||·||cos 0°=||·||
≤2=2=,
当且仅当||=||,即D为BN中点时不等式取等号.
故所求·的最大值为.
评注 上述求解过程的关键是巧作“半圆”,先将目标问题等价转化为求||·||的最大值,再灵活利用基本不等式的变形巧求最大值.显然,该解法最简单,故值得我们细细品味、深思!
综上,不同的思维切入点,往往可获得不同的解题体验,真可谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,需要我们在学中“悟”,在“悟”中不断提升解题技巧.